Technische Universität Berlin Wintersemester 04/05 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

1. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Ordnungssymbole)

\underline{1. Aufgabe} (7 Punkte (3.5+3.5))

a) Welche Werte von α (wenn überhaupt) liefern f = O(ε^{α}) für ε ↓ 0 ?

(i) f = \sqrt{1 + ε^{2}}

(ii) f = ε sin(ε)

(iii) f = (1 − e^{ε})^{−1}

(iv) f = ln(1 + ε)

(v) f = ε ln(ε)

(vi) f = sin(1/ε)

(vii) f = \sqrt{x + ε}, wobei 0 ≤ x ≤ 1.

b) Welche Werte von α (wenn überhaupt) liefern für die obigen Funktionen f = o(ε^{α}) für ε ↓ 0 ?

\underline{2. Aufgabe} (3 Punkte (1+1+1))

a) Zeigen Sie: f = O(ε^{α}) für ε ↓ 0 ⟹ f = o(ε^{β}) für ε ↓ 0 für jedes β < α.

b) Zeigen Sie: Wenn f = O(g) für ε ↓ ε_{0}, dann |f|^{α} = O(|g|^{α}) für ε ↓ ε_{0} für jedes positive α.

c) Geben Sie ein Beispiel an, um zu zeigen dass f = O(g) für ε ↓ ε_{0} nicht notwendigerweise e^{f} = O(e^{g}) für ε ↓ ε_{0} impliziert.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 2.11. vor der Vorlesung.