Technische Universität Berlin Wintersemester 04/05 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

11. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Langsam variierende Koeffizienten und erzwungene Bewegung nahe Resonanz)

\underline{1. Aufgabe} (10 Punkte (4+3+3))

Betrachten Sie den langsam variierenden ungedämpften Oszillator aus der Vorlesung:

y′′ + k^{2}(εt)y = 0, für t > 0, wobei y(0) = a, y′(0) = b.

a) Man entwickle k(εt) mit Hilfe des Satzes von Taylor (für ε klein) und wende dann eine Standard-Mehrskalentransformation: t_{1} = t, t_{2} = ε^{α}t an. Wie verhält sich der erste Term im Vergleich zu

y ∼ \frac{1}{\sqrt{k(εt)}} (α_{0} sin(∫_{0}^{t} k(ετ) dτ)β_{0} cos(∫_{0}^{t} k(ετ) dτ)) ?  (*)

Für welches Zeitintervall gilt diese Entwicklung?

b) Zeigen Sie, daß die schnelle Zeitskala

f(t, ε) = ∫_{0}^{t} k(ετ) dτ

die folgenden Bedingungen erfüllt.

(i) f(t, ε) ist positiv und wächst mit t,

(ii) εt << f für ε ↓ 0,

(iii) f(t, ε) ist glatt.

Ist es nötig, daß f(0, ε) = 0 gilt?

c) Ändert sich (*), wenn man anstatt von t_{2} = εt die Zeitskala t_{2} = εt_{1} nimmt?

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Do, 27.1. vor der Vorlesung.