Technische Universität Berlin Wintersemester 04/05 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

12. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Grenzschichten und Differenzengleichungen)

\underline{1. Aufgabe} (10 Punkte (4+4+2))

Betrachten Sie das Randwertproblem

εy′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x), für 0 < x < 1, wobei y(0) = α und y(1) = β.

Hierbei seien p(x), q(x) und f(x) glatt und p(x) > 0 für 0 ≤ x ≤ 1.

a) Konstruieren Sie eine Entwicklung der Lösung mit Hilfe der zusammengesetzten asymptotischen Entwicklungen.

b) Sei

x_{1} = \frac{1}{ε} ∫_{0}^{x} p(s) ds

und x_{2} = x. Bestimmen Sie eine 1-Term Mehrskalen–Approximation.

c) Diskutieren Sie die Unterschiede zwischen Ihren Ergebnissen aus Teil a) und b). Kommentieren Sie den Spezialfall, wenn p(x) und q(x) konstant sind.

\underline{2. Aufgabe} (praktische Aufgabe) (5 Punkte)

Bestimmen Sie numerisch eine Lösung zu dem Einführungsbeispiel aus Abschnitt 2.1:

εy′′ + 2y′ + 2y = 0, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 0 und y(1) = 1.

Vergleichen Sie dabei Ihre numerische Lösung mit der exakten Lösung

y(x) = \frac{e^{r_{+}x} − e^{r_{−}x}}{e^{r_{+}} − e^{r_{−}}} mit εr_{±} = −1 ± \sqrt{1 − 2ε}.

Bei der Wahl des Verfahrens haben Sie die Wahl zwischen der MATLAB–Routine bvp4c, der Scilab–Routine bvode und dem Programmpaket SBVP 1.0 (basierend auf MATLAB).

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Do, 3.2. vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu den praktischen Aufgaben am Do, 10.2. vor der Vorlesung.