Technische Universität Berlin Wintersemester 04/05 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

2. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Asymptotische Approximationen)

\underline{1. Aufgabe} (4 Punkte (2+2))

Sind die folgenden Sequenzen wohlgeordnet (für ε ↓ 0) ? Falls nicht, ordnen Sie sie derart an, dass sie es sind oder erklären Sie, warum dies unmöglich ist.

a) ϕ_{1} = ε^{5}e^{−3/ε}, ϕ_{2} = ε, ϕ_{3} = ε ln(ε), ϕ_{4} = e^{−ε}, ϕ_{5} = \frac{sin(ε^{3})}{ε}, ϕ_{6} = \frac{1}{ln(ε)}.

b) ϕ_{k} = \begin{cases}1 & für ε ≥ k^{−1} \\ 0 & für 0 ≤ ε < k^{−1} \end{cases} , wobei k = 1, 2, 3 …

\underline{2. Aufgabe} (6 Punkte (1.5+1.5+1.5+1.5))

Es gelte f ∼ a_{1}ε^{α} +a_{2}ε^{β} +. . .. Bestimmen Sie α, β (mit α < β) und nichtverschwindende a_{1}, a_{2} für die folgenden Funktionen:

a) f = [1 + \frac{1}{cos(ε)}]^{3/2}

b) f = sinh(\sqrt{1 + εx}), für 0 < x < ∞

c) f = (1 + εx)^{1/ε}, für 0 < x < ∞

d) f = ∏_{k=0}^{n}(1 + εk), mit n ∈ ℕ

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Do, 11.11. vor der Vorlesung.