Technische Universität Berlin Wintersemester 04/05 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

4. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Einführung in die asymptotische Lösung von Differentialgleichungen)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte)

Betrachten Sie das (skalierte) Projektil–Problem

\frac{d^{2}y}{dτ^{2}} = −\frac{1}{(εy + 1)^{2}} , für τ > 0,

wobei y(0) = 0 und y′(0) = 1 ist. In der Vorlesung wurde gezeigt, daß durch

y(τ) ∼ τ(1 − \frac{1}{2}τ) + \frac{1}{3}ετ^{3}(1 − \frac{1}{4}τ)  (*)

eine 2–Term Entwicklung der Lösung für kleines ε gegeben ist. Diese Approximation gilt für 0 ≤ τ ≤ τ_{h}, wobei τ_{h} > 0 der Rückkehrzeitpunkt (d.h. y(τ_{h}) = 0) ist. Nehmen Sie die asymptotische Entwicklung τ_{h} ∼ τ_{0} + ετ_{1} an und bestimmen Sie τ_{0}, τ_{1} von (*). Begründen Sie physikalisch, warum τ_{1} positiv ist.

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte (2+2+1))

Wenn man im Projektil–Problem den Luftwiderstand berücksichtigt, erhält man die Gleichung

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = −\frac{gR^{2}}{(x + R)^{2}} − \frac{k}{x + R} \frac{dx}{dt},

wobei k eine nichtnegative Konstante ist. Weiterhin sei x(0) = 0 und x′(0) = v_{0}.

a) Was ist die entdimensionalisierte Version dieses Problems, wenn man die ‘richtige’ Skalierung aus der Vorlesung benutzt.

b) Bestimmen Sie eine 2–Term Entwicklung der Lösung für kleines ε. Nehmen Sie dazu an, daß α = kv_{0}/gR unabhängig von ε ist.

\underline{Hinweis:} y_{1} hat die Form αy_{1}(τ) = ∫_{0}^{τ} f(s) ds − e^{−ατ} ∫_{0}^{τ} f(s)e^{αs} ds.

c) Erhöht oder erniedrigt die Hinzunahme des Luftwiderstandes die Flugzeit?

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte (2+1)) Betrachten Sie die folgende Differenzengleichung zweiter Ordnung

y_{n+1} − 2y_{n} + y_{n−1} = (α + εf_{n})y_{n}, für n = 1, 2, 3, …,

wobei α eine positive Konstante und f_{n} = (1/2)^{n} ist.

a) Bestimmen Sie eine 2–Term Entwicklung der Lösung für kleines ε.

b) Es sei y_{0} = 1, y_{1} = 0 und α = 2. Berechnen Sie die exakte Lösung und die 2–Term Entwicklung aus Teil a) für n = 2, 3, …, 10. Kommentieren Sie die Genauigkeit der Approximation.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Do, 25.11. vor der Vorlesung.