Technische Universität Berlin Wintersemester 04/05 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

6. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Einführung in die asymptotische Approximation von Integralen)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte (1.5+0.5))

Die Funktion f(x) sei periodisch mit der Periode 2π und habe eine stetig integrierbare Ableitung. Zeigen Sie mit Hilfe der Methode der partiellen Integration:

a) Für die Fourierkoeffizienten

f_{n} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) cos(nx) dx

gilt f_{n} = o(1/n) für n → ∞.

b) Verallgemeinern Sie dieses Resultat für periodische Funktionen mit stetig integrierbarer k-ter Ableitung.

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte (2+2+1))

Die komplementäre Fehlerfunktion (vgl. Beispiel 1.4.8 aus Vorlesung) ist definiert durch

erfc(z) = \frac{2}{π} ∫_{0}^{∞} e^{−t^{2}} dt.

a) Substituieren Sie t = x + τ und wenden Sie das Lemma von Watson an.

b) Benutzen Sie alternativ zu a) die Methode der Reskalierung, indem Sie nach der obigen Substitution, die Skalierung τ = u/x verwenden.

c) Vergleichen Sie beide Resultate; worin liegt der Unterschied?

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte (2+1))

Betrachten Sie die Integraldarstellung der Fakultätsfunktion

z! = ∫_{0}^{∞} t^{z}e^{−t} dt = ∫_{0}^{∞} e^{z ln t−t} dt.

a) Wenden Sie die Methode von Laplace an, um eine Approximation (sog. Stirling-Formel) für z → ∞ zu erhalten. Benutzen Sie hierzu die Reskalierung t = z +τ\sqrt{z}.

b) Kontrolieren Sie die Genauigkeit der 2-Term Entwicklung für z = 1.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Do, 9.12. vor der Vorlesung.