Technische Universität Berlin Wintersemester 04/05 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

7. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Zusammengesetzte asymptotische Entwicklungen)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte)

Ein Modellproblem (Friedrichs, 1942) für eine Grenzschicht in einem viskosen Fluid lautet

εy′′ = a − y′, für 0 < x < 1,

wobei y(0) = 0, y(1) = 1 und a eine gegebene positive Konstante ist. Bestimmen Sie den ersten Term der inneren und äußeren Entwicklung und leiten Sie eine zusammengesetzte Entwicklung der Lösung dieses Problems her.

\underline{2. Aufgabe} (8 Punkte (2+2+2+2))

Finden Sie die zusammengesetzte Entwicklung der Lösung der folgenden Probleme:

a) εy′′ + 2y′ + y^{3} = 0, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 0, y(1) = 1/2.

b) εy′′ = f(x) − y′, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 0, y(1) = 1, f stetig.

c) εy′′ + (1 + 2x)y′ − 2y = 0, für 0 < x < 1, wobei y(0) = ε, y(1) = sin(ε).

d) εy′′ + y(y′ + 3) = 0, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 0, y(1) = 1.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Do, 16.12. vor der Vorlesung.