Technische Universität Berlin Wintersemester 04/05 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

8. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Beispiele mit mehreren und inneren Grenzschichten)

\underline{1. Aufgabe} (10 Punkte (5+5))

Bestimmen Sie eine zusammengesetzte Entwicklung für die folgenden Probleme und skizzieren Sie die Lösung:

a) εy′′ + ε(x + 1)^{2}y′ − y = x − 1, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 0, y(1) = −1.

b) εy′′ − y′ + y^{2} = 1, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 1/3, y(1) = 1.

\underline{2. Aufgabe} (Zusatzaufgabe 10 Punkte (1+3+3+3))

Bei der Untersuchung von Explosionen von gasförmigen Gemischen gelangt man zu folgendem Model für die (entdimensionalisierte) Temperatur T (t) des Gases:

T′ = ε(T_{∞} − T)^{n} exp(\frac{T − 1}{εT}),

wobei T (0) = 1 ist. Hierbei ist T_{∞} > 1 eine Konstante (sog. adiabatische Explosionstemperatur) und n ∈ ℕ ist die Gesamtreaktionsordnung. Nimmt man eine hohe Aktivierungsenergie an, so ist der Parameter ε klein.

a) Was ist die Temperatur im Stationärzustand?

b) Bestimmen Sie die ersten 2 Terme der regulären Entwicklung der Temperatur. Diese Entwicklung erfüllt die Anfangsbedingung und beschreibt die Lösung in der Entzündungsphase. Benutzen Sie Ihre Entwicklung von Teil a) und T′ > 0, um eine Skizze der Lösung zu erhalten.

c) Es verbleibt, die Lösung im Übergangsgebiet von Teil a) und b) zu bestimmen. Ein Weg hierzu ist die Einführung der Grenzschichtvariable

τ = \frac{t − 1 − f(ε)}{μ(ε)}

wobei μ(ε) durch die Balancierung in der Grenzschicht und f(ε) durch das Anpassen mit der Entwicklung von der Entzündungsphase bestimmt werden. Finden Sie eine 2–Term Entwicklung der Lösung in dieser Grenzschicht (der 2.Term wird implizit definiert). d) Zeigen Sie: das Anpassen der ersten Terme der Entwicklungen von Teil b) und c)

liefert

f(ε) = exp(−(T_{∞} − 1)/ε).

Bemerkung: Dieses Problem lässt sich auch in geschlossener Form lösen, siehe M. Parang und M.C. Jischke, Adiabatic ignition of homogeneous systems, AIAA J. 13, 405–408.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Do, 6.01. vor der Vorlesung.

* Ich wünsche allen Hörern ein frohes Weihnachtsfest *

* und einen guten Rutsch ins neue Jahr 2005 ! *