Technische Universität Berlin Sommersemester 2007 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt

1. Übungsblatt zur VL “Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen” (Separation der Variablen, Charakteristikenmethode)

\underline{1. Aufgabe} (UE)

Gegeben sei die poröse Medium – Gleichung

u_{t} − Δ(u^{γ}) = 0 in ℝ^{n} × (0, ∞),

wobei u nichtnegativ (u ≥ 0) und γ > 1 eine Konstante seien. Finden Sie mit dem Separationsansatz u(x, t) = v(t)w(x) eine Lösung dieser Gleichung. \underline{Hinweis:} Machen Sie für w den Ansatz w(x) = |x|^{α} für ein α > 0.

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte)

Finden Sie mit Hilfe der Charakteristikenmethode eine Lösung für die Eikonalgleichung aus der geometrischen Optik

|∇u| = 1 in Ω = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | y > 0\} , u|_{∂Ω} = \frac{x}{\sqrt{2}}.

\underline{Hinweis:} Für die nichtlineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung

F (Du, u, x) = 0 in Ω ⊂ ℝ^{n},
u = f auf Γ ⊆ ∂Ω,

erhält man mit der Charakteristikenmethode folgendes System von gewöhnlichen DGLen:

ṗ(s) = −D_{x}F (p(s), z(s), x(s)) − D_{z}F (p(s), z(s), x(s))p(s)
ż(s) = D_{p}F (p(s), z(s), x(s)) · p(s)
ẋ(s) = D_{p}F (p(s), z(s), x(s)),

wobei z, p durch z(s) := u(x(s)) und p(s) := Du(x(s)) definiert sind. \underline{Bemerkung:} Das gewöhnliche DGL–System zur Hamilton–Jacobi–Gleichung aus der Vorlesung ist ein Spezialfall davon.

\underline{3. Aufgabe} (5 Punkte)

Zeigen Sie, dass man aus einer stetigen schwachen Lösung der Erhaltungsgleichung

w_{t} + H(w)_{x} = 0 in ℝ × (0, ∞),
w(x, t = 0) = f(x),

mit f ∈ C(ℝ), H ∈ C(ℝ), eine klassische Lösung der Hamilton–Jacobi–Gleichung

u_{t} + H(u_{x}) = 0 in ℝ × (0, ∞),
u(x, t = 0) = g(x)

gewinnen kann. Welcher Beziehung müssen die Anfangsdaten genügen? \underline{Bemerkung:} Der Einfachheit halber nehmen Sie in der Rechnung zusätzlich an, dass das gewonnene u stetig differenzierbar in t sei.

\underline{4. Aufgabe} (UE)

Berechnen Sie die klassische Lösung von

S_{t} − c |∇S| = 0 in ℝ^{n} × (0, ∞),
S(x, 0) = S_{0}(|x|),

wobei c > 0 konstant ist, und S_{0} ∈ C^{1}([0, ∞)) mit S′_{0} ≤ 0 und S′_{0}(0) = 0. Darüber hinaus sollte für ein festes r_{0} > 0 gelten: S_{0}|_{[0,r_{0})} > 0 und S_{0}|_{(r_{0},∞)} < 0. Zeigen Sie, dass sich die Wellenfront S(x, t) = 0 unabhängig von der “Form” der Anfangsbedingung S_{0} ausbreitet.

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Fr, 4.5. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Do, 10.5. vor der Vorlesung.