Technische Universität Berlin Sommersemester 2007 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt

4. Übungsblatt zur VL “Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen” (Variationsprobleme mit Nebenbedingungen)

\underline{1. Aufgabe} (5 Punkte)

Gesucht wird eine Funktion u(x), die die Lage eines an zwei Punkten (x_{0}, u_{0}) und (x_{1}, u_{1}) aufgehängten Seils der Länge l unter dem Einfluß der Schwerkraft beschreibt. Das Prinzip der minimalen potentiellen Energie ergibt das folgende Variationsproblem:

∫_{x_{0}}^{x_{1}}u\sqrt{1 + u^{′2}}dx = min!, u(x_{0}) = u_{0}, u(x_{1}) = u_{1},

unter der Nebenbedingung

∫_{x_{0}}^{x_{1}}\sqrt{1 + u^{′2}}dx = l.

Die Lösung ist bekannt als die Kettenlinie.

Hinweis. Variieren Sie den Integrand um λ\sqrt{1 + u^{′2}} (λ Lagrange’scher Multiplikator):

L(u) = u\sqrt{1 + u^{′2}} + λ\sqrt{1 + u^{′2}},

und lösen Sie die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung, unter der Annahme, dass u klassisch ist. (Gleiches Prinzip wie bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen aus der Analysis)

\underline{2. Aufgabe} (UE)

Gegeben sei das folgende isoperimetrische Variationsproblem:

∫_{−1}^{1} \sqrt{1 + u^{′2}}dx = min!, u(−1) = u(1) = 0,

unter der Nebenbedingung

F (u) = ∫_{−1}^{1} (u − \frac{π}{4} ) dx = 0.

a) Zeigen Sie für 1 < q < 2, dass es für R > 0 hinreichend groß einen Minimierer in

U = {u ∈ W_{0}^{1,q}(−1, 1) | F (u) = 0, ∥u∥_{W_{0}^{1,q}(−1,1)} ≤ R}

gibt.

Hinweis. Passen Sie die Beweise der Sätze 14.17, 14.18 aus der Vorlesung entsprechend an. Benutzen Sie dabei die stetige Einbettung

W_{0}^{1,p}(−1, 1) ↪ C^{0,α}[−1, 1],  α = 1 − \frac{1}{p},  1 < p < ∞.

Der Satz von Arzela–Ascoli gilt auch für beschränkte Folgen in C^{0,α}[−1, 1], 0 < α ≤ 1.

b) Warum wurde q < 2 vorausgesetzt?

Hinweis. s. formale Lösung in der Vorlesung.

\underline{3. Aufgabe} (5 Punkte)

Sei q > 1 und Ω ⊂ ℝ^{n}, n > 2, ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand. Betrachten Sie das Randwertproblem

−Δu = |u|^{q−1}u in Ω,  (1)
u = 0 auf ∂Ω.

Zeigen Sie mit den Methoden aus der Vorlesung, Kapitel 14.5, die Existenz einer nichttrivialen Lösung u ∈ H_{0}^{1}(Ω) für 1 < q < \frac{n+2}{n−2}.

Hinweise:

• Vermeiden Sie die triviale Lösung beim Aufstellen der Nebenbedingung für das entsprechende Variationsproblem, nämlich

u ∈ U = {w ∈ H_{0}^{1}(Ω) | ∫_{Ω} G(w) = 0} ,

wobei G eine geeignete Stammfunktion von g(x) = |x|^{q−1}x ist.

• Modifizieren Sie den Beweis vom Satz 14.18 aus der Vorlesung entsprechend. Verwenden Sie dazu folgenden Spezialfall vom Sobolev’schen Einbettungssatz (für n > 2):

H^{1}(Ω) ↪ (↪) L^{p}(Ω), 1 ≤ p ≤ \frac{2n}{n − 2}.

(<)

• Skalieren Sie anschliessend den möglichen Minimierer so um, dass er die Gleichung (1) schwach löst (d.h. der Lagrange-Multiplikator λ = 1).

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Fr, 15.6. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Do, 21.6. vor der Vorlesung.