Technische Universität Berlin Sommersemester 2007 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt

5. Übungsblatt zur VL “Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen” (Variationsprobleme mit einseitigen Nebenbedingungen, Variationsungleichungen)

\underline{1. Aufgabe} (5 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand und f ∈ L^{2}(Ω).

(i) Zeigen Sie, dass ein eindeutiger Minimierer u ∈ U von

E(w) = ∫_{Ω} \frac{1}{2} |∇w|^{2} − fw dx

existiert, wobei

U := { w ∈ H_{0}^{1}(Ω) | |∇w| ≤ 1 f. ü. in Ω }.

(ii) Beweisen Sie die Ungleichung

∫_{Ω} ∇u · ∇(w − u) dx ≥ ∫_{Ω} f(w − u) dx, ∀ w ∈ U.

\underline{2. Aufgabe} (UE)

Seien Ω := (−1, 1) ⊂ ℝ und E das folgende Energie-Funktional:

E(u) := ∫_{−1}^{1} \frac{1}{2}(u′)^{2} − fu dx

mit

f(x) := \{ \begin{matrix}1, & |x| > 0.5 \\ −2, & |x| < 0.5 . \end{matrix}

Lösen Sie folgende Minimierungsprobleme “per Hand” und skizzieren (oder plotten) Sie das Ergebnis:

(i) Minimieren Sie E in H_{0}^{1}(Ω),

(ii) Minimieren Sie E in {u ∈ H_{0}^{1}(Ω) | u ≥ 0},

(iii) Lösen Sie die zugehörige Penalty–Approximation für ε > 0: schwache Lösungen von

−uε^{′′} + \frac{1}{ε}u_{ε}H(−u_{ε}) = f, in (−1, 1)
u_{ε}(1) = u_{ε}(−1) = 0,

wobei H die Heaviside-Funktion ist.

Hinweis zu (ii): u ∈ H^{2}(Ω) – laut Vorlesung .

\underline{3. Aufgabe} (5 Punkte) Seien ϕ, f ∈ L^{2}(Ω), Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand. Definiere

U := { w ∈ L^{2}(Ω) | w ≥ ϕ f. ü. in Ω }.

Zeigen Sie, dass eine eindeutige Lösung u ∈ U der Variationsungleichung

∫_{Ω} u(w − u) dx ≥ ∫_{Ω} f(w − u) dx, ∀ w ∈ U

existiert.

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Fr, 29.6. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Do, 5.7 vor der Vorlesung.