Technische Universität Berlin Sommersemester 2007 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt

6. Übungsblatt zur VL “Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen” (Parabolische Sobolevräume)

\underline{1. Aufgabe} (5 Punkte)

Sei ξ ∈ Ω ⊂ ℝ^{n}. Zeigen Sie mit dem Satz 15.1 aus der Vorlesung, dass für n = 1 δ_{ξ} ∈ H^{−1}(Ω) gilt. Zeigen Sie durch Gegenbeispiele, dass im Allgemeinen δ_{ξ} ∉ H^{−1}(Ω) für n ≥ 2.

Hinweis. H_{0}^{1}(Ω) ↪ / C(\overline{Ω}) für n ≥ 2.

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte)

Seien Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand und f ∈ L^{2}(Ω). Sei {w_{k}}_{k∈ℕ} eine ON-Basis von H_{0}^{1}(Ω) und u_{m} = ∑_{k=1}^{m} d_{m}^{k}w_{k} die Lösung von

∫_{Ω} ∇u_{m} · ∇w_{k} dx = ∫_{Ω} fw_{k} dx

für alle k = 1, ..., m (vgl. Galerkin-Methode aus der VL, Kap. 14.1). Zeigen Sie, dass eine Teilfolge von (u_{m})_{m∈ℕ} existiert, die in H_{0}^{1}(Ω) gegen die schwache Lösung von

−Δu = f in Ω,
u = 0 auf ∂Ω

schwach konvergiert. Konvergiert die ganze Folge dann auch schwach dagegen?

\underline{3. Aufgabe} (UE)

Seien Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand, und T > 0. Es gelte für die Folge (u_{k}):

u_{k} ⇀ u in L^{2}(0, T; H_{0}^{1}(Ω))
u′_{k} ⇀ v  in L^{2}(0, T; H^{−1}(Ω)).

Zeigen Sie, dass v = u′.

Hinweis. Sei ϕ ∈ C_{0}^{1}(0, T), w ∈ H_{0}^{1}(Ω). Dann gilt

∫_{0}^{T}⟨ u′_{k}(t), ϕ(t)w⟩ dt = − ∫_{0}^{T}⟨ u_{k}(t), ϕ′(t)w⟩ dt,

wobei das Symbol ⟨., .⟩ entsprechend zu interpretieren ist.

\underline{4. Aufgabe} (UE)

Seien Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand, m ≥ 0, 1 < p < ∞, V := W_{0}^{m,p}(Ω), und f ∈ L^{q}(Ω × (0, T)) mit T > 0 und q = p/(p − 1). Das Funktional b sei definiert durch

⟨ b(t), v⟩ := ∫_{Ω} f(x, t)v(x) dx, ∀ v ∈ V, t ∈ (0, T).

Zeigen Sie: b ∈ L^{q}(0, T; V′).

Hinweis. Prüfen Sie die Meßbarkeit von t ↦ ⟨ b(t), v⟩.

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Fr, 13.7. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Do, 19.7. vor der Vorlesung.