Technische Universität Berlin Sommersemester 2007 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt

7. Übungsblatt zur VL “Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen” (Parabolische Evolutionsgleichungen)

\underline{1. Aufgabe} (5 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand. Gegeben sei die Gleichung

u_{t} − Δu = f(x, t) in Ω × (0, ∞),
u(t) = 0  auf ∂Ω, t ≥ 0,
u(t = 0) = u_{0}  in Ω,

mit u_{0} ∈ L^{2}(Ω). Die Funktion f ∈ L^{∞}(Ω × [0, T]), ∀ T > 0, sei für ein τ > 0 τ-periodisch in t, d.h. f(x, t) = f(x, t + τ) (x ∈ Ω, t ≥ 0). Zeigen Sie, dass es einen eindeutigen Anfangswert u_{0} ∈ L^{2}(Ω) gibt, so dass die zugehörige Lösung u τ-periodisch ist.

Hinweis. Betrachten Sie die Fixpunktabbildung A(u_{0}) = u(τ).

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte)

Gegeben sei die Gleichung

u_{t} − u_{xx} = u^{2},  (x, t) ∈ (0, 1) × (0, ∞),
u(0, t) = u(1, t), t ≥ 0,
u_{x}(0, t) = u_{x}(1, t), t ≥ 0,
u(x, t = 0) = u_{0}(x), x ∈ (0, 1).

Zeigen Sie, dass für jedes T > 0 ein u_{0} ∈ L^{2}(0, 1) existiert, so dass für die zugehörige Lösung das maximale Zeitintervall tmax = T < ∞ ist. Verwenden Sie dabei, dass die Gleichung eine eindeutige Lösung u ∈ C(0, tmax, L^{2}(Ω)) hat.

Hinweis. Wählen Sie u_{0} ≡ const.

\underline{3. Aufgabe} (UE)

Sei Ω ⊂ ℝ beschränkt. Zeigen Sie für u_{0} ∈ L^{2}(Ω), dass die Gleichung

u_{t} − u_{xx} = arctan(u)u_{x} in Ω × (0, T],
u(t) = 0  auf ∂Ω, t ∈ [0, T],
u(t = 0) = u_{0}  in Ω

eine eindeutige zeitglobale schwache Lösung u ∈ C(0, ∞, L^{2}(Ω)) besitzt.

Hinweis. Verwenden Sie den Satz 15.7. aus der Vorlesung.

\underline{4. Aufgabe} (UE)

Seien Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand, T > 0, und c ∈ C(0, T, L^{p}(Ω)), wobei \frac{n}{2} < p ≤ ∞, 1 ≤ p. Zeigen Sie, dass die Gleichung

u_{t} − Δu − c(x, t)u = 0 in Ω × (0, T],
u(t) = 0 auf ∂Ω, t ≥ 0,
u(t = 0) = u_{0} in Ω

eine eindeutige Lösung u ∈ L^{2}(0, T, H_{0}^{1}(Ω)) ∩ H^{1}(0, T, H^{−1}(Ω)) ∩ C(0, T, L^{2}(Ω)) besitzt.

Hinweis. Benutzen Sie die Gagliardo-Nirenberg–Ungleichung (1 ≤ p, r, q ≤ ∞)

∥u∥_{L^{p}(Ω)} ≤ C∥∇u∥_{L^{r}(Ω)}^{α}∥u∥_{L^{q}(Ω)}^{1−α}, \frac{1}{p} = α (\frac{1}{r} − \frac{1}{n}) + (1 − α)\frac{1}{q}, α ∈ [0, 1],

und folgende Sobolev-Einbettungen:

• n = 1 : H_{(0)}^{1}(Ω) ↪ C(\overline{Ω});
• n = 2 : H_{(0)}^{1}(Ω) ↪ L^{p}(Ω), 1 ≤ p < ∞;
• n > 2 : H_{(0)}^{1}(Ω) ↪ L^{p}(Ω), 1 ≤ p ≤ \frac{2n}{n−2}.

\underline{5. Aufgabe} (UE)

Sei Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet mit C^{2}-Rand. Zeigen Sie, dass die Gleichung

u_{t} + ΔΔu = 0 in Ω × (0, T),
u(t) = \frac{∂u}{∂ν}(t) = 0 auf ∂Ω, t ∈ [0, T],
u(t = 0) = u_{0} in Ω,

mit u_{0} ∈ L^{2}(Ω), eine eindeutige schwache Lösung besitzt. Wo liegt sie?

\underline{6. Aufgabe} (UE)

Sei Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand. Gegeben sei die Gleichung

u_{t} − Δu = −u|u| in Ω × (0, ∞),
u(t) = 0  auf ∂Ω, t ≥ 0,
u(t = 0) = u_{0}  in Ω,

mit u_{0} ∈ L^{2}(Ω). Zeigen Sie für n = 2 und n = 3, dass sie eine eindeutige schwache Lösung u ∈ C(0, ∞, L^{2}(Ω)) besitzt.

Hinweis. Beachten Sie: für u ∈ L^{2}(Ω) gilt i.A. u|u| ∉ H^{−1}(Ω)! Benutzen Sie bei der Fixpunktiteration −|u(t)|w(t) als rechte Seite, und schätzen Sie dann mit Hilfe der Gagliardo-Nirenberg– Ungleichung ab.