Technische Universität Berlin Sommersemester 2007 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt

8. Übungsblatt zur VL “Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen” (Nichtlineare Wellengleichungen)

Die Bearbeitung der folgenden Aufgaben ist freiwillig! Die erreichten Punkte zählen als Bonuspunkte.

\underline{1. Aufgabe} (5 Punkte)

Sei u_{0} ∈ L^{1}(ℝ^{n}) ∩ L^{2}(ℝ^{n}). Zeigen Sie ohne Anwendung des Interpolationssatzes 16.1 aus der Vorlesung, dass für die Lösung der freien Schrödinger-Gleichung

iu_{t} = Δu in ℝ^{n} × ℝ,
u(t = 0) = u_{0}

die Ungleichung

∥u(t)∥_{L^{p′}(ℝ^{n})} ≤ C(u_{0})(4πt)^{\frac{n}{2} − \frac{n}{p}} , ∀ p ∈ [1, 2]

gilt, wobei p′ den konjugierten Index zu p bezeichne.

Hinweis. Benutzen Sie das Lemma 12.2 aus dem Skript über lineare PDGLen (auch auf der Web-Seite der Vorlesung erhältlich).

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte)

Für die lineare Wellengleichung

u_{tt} = Δu in ℝ^{n} × ℝ, n ≥ 2,
u(t = 0) = 0,
u_{t}(t = 0) = u_{1}

gilt

∥u(t)∥_{L^{q}(ℝ^{n})} ≤ C t^{b}∥u_{1}∥_{L^{p}(ℝ^{n})},

für geeignete Paare (\frac{1}{p}, \frac{1}{q}) (näheres dazu in W.A. Strauss: Nonlinear Wave Equations,..., S. 5).

a) Bestimmen Sie b = b(n, p, q) aus der Skalierung x → λx, t → λt in der Wellengleichung. b) In welchen L^{p}-Räumen müsste u_{1} liegen, damit

∥u(t)∥_{L^{2}(ℝ^{n})} ≤ C, ∀ t ∈ ℝ

gilt.

\underline{3. Aufgabe} (5 Punkte)

Sei

E(u) = ∫_{ℝ^{n+1}}[−\frac{1}{2}(u_{t})^{2} + \frac{1}{2}|∇u|^{2} + F (u)] dx dt,

gegeben, wobei F eine geignete Funktion mit F (0) = 0 ist (vgl. Beispiel 2 im Kapitel über Erhaltungsgrössen in der Vorlesung). Die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung ist die nichtlineare Wellengleichung (NLW) mit f(u) = F′(u). Zeigen Sie, dass die Ortsverschiebung

T_{k}(s) : u(x, t) ↦ u(x_{1}, …, x_{k} + s, …, x_{n}, t), k ∈ {1, …, n}

in der NLW zur Erhaltung des Impulses führt, wobei die Impulsdichte durch p_{k}(u) = u_{t} \frac{∂u}{∂x_{k}} definiert ist.

\underline{4. Aufgabe} (5 Punkte)

Zeigen Sie durch formale Rechnung, dass die lineare Wellengleichung

u_{tt} = Δu in ℝ^{3} × ℝ,
u(t = 0) = u_{0},
u_{t}(t = 0) = u_{1}

durch

u(x, t) = \frac{∂}{∂t} \{\frac{1}{4πt} ∫_{S(t)} u_{0} dS\} + \frac{1}{4πt} ∫_{S(t)} u_{1} dS

gelöst wird, wobei S(t) die Oberfläche der Sphäre mit Ursprung in x und Radius t ist.

Hinweis. Dabei gilt

\frac{1}{t} ∫_{S(t)} f dS := t ∫_{0}^{π}∫_{0}^{2π}f(x + tI) sin ϑ dϑ dϕ, I = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ).

\underline{5. Aufgabe} (5 Punkte)

Zeigen Sie, dass aus der stetigen Einbettung H^{1}(ℝ^{n}) ↪ L^{q}(ℝ^{n}) für

• n ≥ 3, 2 ≤ q ≤ \frac{2n}{n−2};

• n = 2, 2 ≤ q < ∞;

• n = 1, 2 ≤ q ≤ ∞, die Sobolev-Ungleichung

∥u∥_{L^{q}(ℝ^{n})} ≤ C(q, n)∥u∥_{L^{2}(ℝ^{n})}^{1−α}∥∇u∥_{L^{2}(ℝ^{n})}^{α} mit α = \frac{n}{2} (1 − \frac{2}{q})

folgt.

Hinweis. Skalieren Sie x ↦ λx um, und minimieren Sie in λ.

\underline{6. Aufgabe} (4 Punkte) Sei Ω ⊆ ℝ^{n} und R > 0. Zeigen Sie, dass

Y := {f ∈ H^{1}(Ω) | ∥f∥_{H^{1}(Ω)} ≤ R}

eine (bzgl. der L^{2}-Norm) abgeschlossene Teilmenge von L^{2}(Ω) ist. \underline{7. Aufgabe} (6 Punkte) Zeigen Sie, dass die Schrödinger-Poisson-Gleichung

iψ_{t} + Δψ + f(ψ) = 0 in ℝ^{3} × ℝ,
ψ(t = 0) = ψ_{0} ∈ H^{1}(ℝ^{3}),

mit f(ψ) = \frac{1}{4π} (|ψ|^{2} ∗ \frac{1}{|x|}) ψ, eine eindeutige Lösung ψ ∈ C(ℝ; H^{1}(ℝ^{3})) besitzt.

Bemerkung. V [ψ] := \frac{1}{4π} (|ψ|^{2} ∗ \frac{1}{|x|}) löst die Poisson-Gleichung ΔV = |ψ|^{2}. Hinweis. Zeigen Sie zunächst mit Hilfe der verallgemeinerten Young-Ungleichung (siehe VL-Skript) und der Sobolev-Einbettung W^{1,p}(ℝ^{n}) ↪ C_{B}(ℝ^{n}) für p > n, dass f : H^{1}(ℝ^{3}) → H^{1}(ℝ^{3}) eine lokal Lipschitz-stetige Funktion ist. Benutzen Sie anschliessend folgenden Satz 6.1.4 aus A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer, 1983:

Let X be a Banach space and f : [0, ∞) × X → X be continuous in t for t ≥ 0 and locally Lipschitz continuous in u, uniformly in t on bounded intervals. If −A is the infinitesimal generator of a strongly continuous semigroup T (t) on X then for every u_{0} ∈ X there is a t_{max} ≤ ∞ such that the initial value problem

u_{t}(t) + Au(t) = f(t, u(t)), t ≥ 0
u(0) = u_{0},

has a unique mild solution u on [0, t_{max}). Moreover, if t_{max} < ∞ then

lim_{t↑t_{max}} ∥u(t)∥_{X} = ∞.

Die Erhaltungen von ∥ψ(t)∥_{L^{2}(ℝ^{3})} und

E(ψ(t)) = ∥∇ψ(t)∥_{L^{2}(ℝ^{3})}^{2} + \frac{1}{2} ∥∇V (t)∥_{L^{2}(ℝ^{3})}^{2}

liefern dann die a-priori-Abschätzungen.