Technische Universität Berlin Wintersemester 2007/2008

Fakultät II; Institut für Mathematik PD Matthias Ehrhardt/C. Schröder 21.02.2008

Klausur zur LV Numerik für Informatiker

BITTE DIESE FELDER IN DRUCKSCHRIFT AUSFÜLLEN:

Name:  Vorname:
Matrikel-Nr.:  Studiengang:

Mit der Veröffentlichung des Ergebnisses meiner Klausur (Matrikel-Nr., Punktzahl und Note) auf der Webseite zur Veranstaltung bin ich

einverstanden.

nicht einverstanden.

Bitte ankreuzen!

WICHTIGE HINWEISE:

• Dieses Deckblatt ist vollständig ausgefüllt und unterschrieben zusammen mit den Lösungen abzugeben. Lösungen ohne Deckblatt oder nur mit teilweise ausgefülltem Deckblatt werden NICHT berücksichtigt.

• Als Hilfsmittel sind zugelassen:

– Ein DinA4-Zettel.

– Ein nicht-programmierbarer Taschenrechner.

• Nicht zugelassen ist die Benutzung eines Laptops oder eines Handys! Also Handys AUS ! ! !

• Mit Bleistift geschriebene Klausuren werden nicht gewertet!

• Das Ergebnis jeder (Teil-)Aufgabe ist deutlich zu notieren. Abzugeben sind die Lösungen mit allen benötigten Nebenrechnungen und Herleitungen in \underline{Reinschrift}! Unleserliche Rechnungen werden nicht gewertet.

• Bei \underline{jedem} Täuschungsversuch gilt die Klausur als nicht bestanden!

• Bitte den Studierendenausweis und einen amtlichen Lichtbildausweis bereit halten!

• Die Ergebnisse der Klausur und der Termin zur Klausureinsicht werden auf der Webseite zur Veranstaltung bekanntgegeben.

• Das Lösen der Zusatzaufgabe ist freiwillig. Sie kann zusätzlich oder statt einer der anderen Aufgabe gelöst werden.

• Für die Bearbeitung der Klausur haben Sie 90 Minuten Zeit. Ich bestätige, dass alle von mir gemachten Angaben der Wahrheit entsprechen und ich obige Hinweise verstanden und akzeptiert habe.

Unterschrift: ........................................................................

Diese Felder NICHT ausfüllen:

Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 Z Summe Note

Punkte

Korrektor Aufgabe 1 (7+4 Punkte)

a) Berechnen Sie die LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung der Matrix A = [\begin{matrix}−2 & 3 & 7 \\ 4 & −4 & 2 \\ 2 & 1 & 7 \end{matrix}].

b) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ãx = b wobei b = [\begin{matrix}0 \\ 2 \\ 13 \end{matrix}] und Ã = CC^{T} mit C = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 2 & 0 \\ −1 & 1 & 2 \end{matrix}].

Aufgabe 2 (4+7 Punkte)

a) Es soll die Funktion der Form f_{λ_{1},λ_{2},λ_{3}}(x) = λ_{1}x^{2} + λ_{2}\sqrt{x + 1} + λ_{3}2^{x} bestimmt werden, die die Wertepaare

\begin{matrix}x_{i} & −1 & 0 & 3 & 8 \\ y_{i} & 3.5 & −4 & 20 & −9 \end{matrix}

am besten im Sinne der Summe der kleinsten Fehlerquadrate approximiert. Bestimmen Sie dazu Matrix A und rechte Seite b eines linearen Ausgleichsproblems, das [λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}]^{T} als Lösung hat. (Achtung: Nach der eigentlichen Lösung ist hier nicht gefragt.)

b) Bestimmen Sie den Dreiecksfaktor R der QR-Zerlegung der Matrix A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}] mittels Householdertransforma-

tionen.

Aufgabe 3 (4+2 Punkte)

Die Funktion f(x) = \frac{1}{x+1} soll an der Stelle x^{∗} = 0 numerisch abgeleitet werden.

a) Bestimmen Sie den vorwärts gerichteten Differenzenquotienten D_{1}f(x^{∗}, h), sowie den zentralen Differenzenquotienten D_{2}f(x^{∗}, h), jeweils für h = \frac{1}{5} und h = \frac{1}{10}.

b) Verbessern Sie die Genauigkeit von D_{1}f(x^{∗}, h) mittels h-Extrapolation.

Aufgabe 4 (5+3 Punkte)

Die Funktion f(x) = \frac{1}{x+1} soll im Intervall [1; 3] numerisch integriert werden.

a) Bestimmen Sie den gesuchten Wert mit der (unsummierten) Simpsonregel und mit der summierten Rechteckregel mit n = 2 Teilintervallen.

b) Geben Sie eine Fehlerschranke für das in a) errechnete Ergebnis der summierten Rechteckregel mit n = 2 an.

Aufgabe 5 (5 Punkte)

Bestimmen Sie die Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms zu den Punkten (−2, 2), (1, −4), (5, 4).

Aufgabe 6 (2+3 Punkte)

a) Erläutern Sie das eindimensionale Newton-Verfahren graphisch.

b) Berechnen Sie die ersten zwei Iterationen des Newton-Verfahrens angewandt auf die Funktion f(x) = x^{2} − 6x + 9 mit Startwert x_{0} = 5.

Aufgabe 7 (4 Punkte)

Bestimmen Sie die Konditionszahl der Matrix A = [\begin{matrix}1 & 99 \\ 1 & 100 \end{matrix}] in der ∞-Norm.

Zusatzaufgabe (4 Punkte)

Wieviele verschiedene Gleitpunktzahlen gibt es bei m-stelliger Mantisse, e-stelligem Exponenten mit je einem Vorzeichen im Dezimalsystem?