Technische Universität Berlin Wintersemester 07/08 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt Dipl.–Ing. C. Schröder

10. Übungsblatt zur VL “Numerik für Informatiker” (Numerische Differentiation))

Alle Rechnungen auf diesem Blatt sollen mit 16-stelliger Genauigkeit durchgeführt werden. Es gilt D_{1}f(x, h) = \frac{f(x+h)−f(x)}{h}, D_{2}f(x, h) = \frac{f(x+h)−f(x−h)}{2h}.

\underline{1. Aufgabe} (6 Punkte)

a) Berechnen Sie D_{1}f und D_{2}f für f = cos(x), x = 1 und h = 10^{−1}, 10^{−2}, …, 10^{−15}.

b) Berechnen Sie die exakten Werte durch Auswerten der analytischen Ableitung und geben Sie die Fehler an.

c) Berechnen Sie die optimale Schrittweite h für D_{1}f(x, h) mit der Faustformel aus der Vorlesung.

\underline{2. Aufgabe} (6 Punkte)

a) Berechne D_{1}f(x, h) für f = cos(x), x = 2, h = 0.1, 0.05, 0.025, 0.0125.

b) Verbessere die Näherung mittels h-Extrapolation bis zur Ordnung 4.

\underline{3. Aufgabe} (6 Punkte)

Kombinieren Sie D_{1}f(x, h) und D_{1}f(x, \frac{h}{10}) zu einer Differenzenformel der Ordnung 2. Hinweis: Es gilt die Fehlerentwicklung D_{1}f(x, h) − f′(x) = \frac{1}{2}f′′(x)h + \frac{1}{6}f′′′(x)h^{2} + O(h^{3}).

\underline{4. Aufgabe} (2 Punkte)

Wahr oder falsch (ohne Begründung; Antwort richtig: 0.5 Punkte, falsch: −0.5 Punkte)

a) Notwendig für die Differenzenformel D_{1}f(x_{0}, h) ist, daß f in x_{0} stetig ist.

b) Hinreichend für die Differenzenformel D_{1}f(x_{0}, h) ist, daß f in x_{0} stetig ist.

c) D_{1}f nennt man auch zentrale Differenzenformel.

d) Es sind mehr als 5 Funktionsauswertungen notwendig, um durch h-Extrapolation von D_{1}f eine Näherung der Ordnung 5 zu erhalten.

Abgabe - in der Vorlesung am 18. Januar oder

- vorher im Briefkasten zwischen den Räumen MA470, MA471

Besprechung im Tutorium am 21. Januar