Technische Universität Berlin Wintersemester 07/08 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt Dipl.–Ing. C. Schröder

11. Übungsblatt zur VL “Numerik für Informatiker” (Numerische Integration I)

\underline{1. Aufgabe} (7 Punkte)

Approximieren Sie ∫_{1}^{3} sin(\frac{x}{2})dx mittels

a) Mittelpunkt-, Trapez- und Simpsonregel,

b) summierte Mittelpunkt-, summierte Trapezregel mit n = 4 Teilintervallen.

c) Berechnen Sie Fehlerabschätzungen für alle 5 Ergebnisse. (Dabei darf max_{x∈[a,b]} | sin(x)| ≤ 1 benutzt wereden.)

d) Berechnen Sie das exakte Ergebnis.

\underline{2. Aufgabe} (7 Punkte)

Bestimmen Sie die Fehlerordnung der

a) Rechteckregel,

b) Simpsonregel,

c) Q_{2}f := \frac{b−a}{2}f (\frac{a}{2}(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + \frac{b}{2}(1 − \frac{1}{\sqrt{3}})) + \frac{b−a}{2}f (\frac{a}{2}(1 − \frac{1}{\sqrt{3}}) + \frac{b}{2}(1 + \frac{1}{\sqrt{3}})).

\underline{3. Aufgabe} (4 Punkte)

Transformieren Sie die Quadraturformel ∫_{−1}^{1} f(x)dx ≈ N_{2}f = f(−\frac{1}{3}) + f(\frac{1}{3}) auf das allgemeine Intervall [a, b].

\underline{4. Aufgabe} (2 Punkte)

Wahr oder falsch (ohne Begründung; Antwort richtig: 0.5 Punkte, falsch: −0.5 Punkte)

a) Halbiert man die Schrittweite der summierten Trapezregel, so halbiert sich auch der dominante Teil des Fehlers.

b) Halbiert man die Schrittweite der summierten Rechteckregel, so viertelt sich der dominante Teil des Fehlers.

c) Halbiert man die Schrittweite der summierten Simpsonregel, so achtelt sich der dominante Teil des Fehlers.

d) Die summierte Trapezregel benötigt doppelt so viele Funktionsauswertungen, wie die summierte Rechteckregel (n ≥ 2).

Abgabe - in der Vorlesung am 25. Januar oder

- vorher im Briefkasten zwischen den Räumen MA470, MA471

Besprechung im Tutorium am 28. Januar