Technische Universität Berlin Wintersemester 07/08 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt Dipl.–Ing. C. Schröder

12. Übungsblatt zur VL “Numerik für Informatiker” (Numerische Integration II)

\underline{1. Aufgabe} (5 Punkte)

Leiten Sie die offene Newton-Cotes-Formel mit 3 Knoten für das Intervall [−1, 1] her.

\underline{2. Aufgabe} (7 Punkte)

Verwenden Sie die Gauß-Quadraturformel mit 3 Knoten, um folgende Integrale anzunähern. Geben Sie außerdem Fehlerabschätzungen an. Bestimmen Sie dann den exakten Wert und geben sie die wahren Fehler an.

a) ∫_{−1}^{1} 2x^{2} − 8dx  b)∫_{−1}^{1} sin(\frac{x}{2})dx  c)∫_{−1}^{1} 3x^{3} + 2x^{2} − 5dx

\underline{3. Aufgabe} (6 Punkte)

Approximieren Sie ∫_{1}^{3} \frac{1}{x}dx mit der summierten Trapezregel, und zwar mit n = 1, n = 2, n = 4, n = 8 und verbessern Sie die so gewonnenen Werte mittels Romberg-Extrapolation.

\underline{4. Aufgabe} (2 Punkte)

Wahr oder falsch (ohne Begründung; Antwort richtig: 0.5 Punkte, falsch: −0.5 Punkte)

a) Die Simpsonregel braucht genausoviele Funktionsauswertungen wie die 3-Knoten-Gauß-Formel.

b) Die summierte Simpsonregel braucht genausoviele Funktionsauswertungen wie die summierte 3-Knoten-Gauß-Formel.

c) Romberg-Extrapolation braucht extra Funktionsauswertungen.

d) Die Gewichte der Newon-Cotes-Formeln können, im Gegensatz zu den Gauß-Formeln, negativ werden, wodurch Auslöschungsfehler möglich sind.

Achtung: Praktische Aufgabe auf der Rückseite!

Abgabe - in der Vorlesung am 1. Februar oder

- vorher im Briefkasten zwischen den Räumen MA470, MA471

Besprechung im Tutorium am 4. Februar \underline{Praktische Aufgabe} (10 Punkte)

Implementieren Sie das Romberg-Verfahren zur Approximation von ∫_{a}^{b} f(x)dx. Schreiben Sie dazu eine Routine romberg mit folgenden Parametern: die Grenzen a, b, den Integer k ≥ 1 und das Fließkommazahlen-Array F der Länge 2^{k} + 1 mit F = [f(x_{0}), f(x_{1}), f(x_{2}), …, f(x_{2^{k}})] wobei x_{i} = a + i\frac{b−a}{2^{k}}. Als Ergebnis soll die Romberg-Extrapolation der summierten Trapezregel geliefert werden. Wenden Sie Ihre Routine auf ∫_{2}^{4} x^{−1}dx für k = 3 an. (Bitte einen Ausdruck der Routine romberg und das Ergebnis abgeben.)