Technische Universität Berlin Wintersemester 07/08 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt Dipl.–Ing. C. Schröder

8. Übungsblatt zur VL “Numerik für Informatiker” (Splines, Bezierkurven)

\underline{1. Aufgabe} (9 Punkte)

Die Funktion f(x) = \frac{1}{1+x^{2}} erfüllt die Wertepaare:

\begin{matrix}x_{i} & −3 & −1 & 0 & 1 & 3 \\ f_{i} & \frac{1}{10} & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{10} \end{matrix}

a) Berechne die dividierten Differenzen von (x_{i}, f_{i}) (das ganze Dreiecksschema) und gebe die Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms p(x) an.

b) Stelle das Gleichungssystem für die Momente des natürlichen Splines auf. Gebe die Momente an.

c) Berechnen Sie die Splinefunktion s(x). (also die (ausmultiplizierten) Polynome der einzelnen Abschnitte)

d) Werten Sie f(x), p(x), s(x) an den Stellen −3.0; −2.9; −2.8; −2.7; … 2.9; 3.0 aus und plotten Sie die drei Kurven in ein Koordinatensystem. (Die Funktionswerte müssen nicht angegeben werden, der Ausdruck reicht. Plotten geht einfach mit dem MATLAB-Befehl plot; eine Alternative ist z.B. das Programm GNUPLOT.)

\underline{2. Aufgabe} (3 Punkte)

Wieviele Flops benötigt die Berechnung des natürlichen Splines zu n + 1 Wertepaaren? (Ordnung p in O(n^{p}) reicht.) Begründe.

\underline{3. Aufgabe} (5 Punkte)

a) Gebe das Bezier-Polynom p(t) zu den Bezier-Punkten (0, 1), (\frac{1}{4}, −2), (\frac{1}{2}, −1), (\frac{3}{4}, 2), (1, 2) in Bezier-Darstellung und ausmultipliziert an.

b) Berechne die Funktionswerte p(t) für t ∈ \{\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}\} mit dem Algorithmus von de Casteljau. (Hier will ich die Dreiecksschemen sehen.)

\underline{4. Aufgabe} (3 Punkte)

Wahr oder falsch (ohne Begründung; Antwort richtig: 0.5 Punkte, falsch: −0.5 Punkte)

a) Der Wert einer Splinefunktion für die Wertepaare (x_{0}, f_{0}), …, (x_{n}, f_{n}) hängt im Intervall (x_{i}, x_{i+1}) nur von den Wertepaaren (x_{i−1}, f_{i−1}), (x_{i}, f_{i}), (x_{i+1}, f_{i+1}), (x_{i+2}, f_{i+2}) ab. (Fachbegriff: lokale Abhängigkeit der Funktion)

b) Um einen periodischen Spline zu den Wertepaaren (x_{0}, f_{0}), …, (x_{n}, f_{n}) aufstellen zu können, muß x_{n} = x_{0} und f_{n} = f_{0} gelten. c) Sei p(x) das Interpolationspolynom zu den Wertepaaren (x_{i}, y_{i}). Dann gilt p(x_{i}) =

y_{i} für alle i.

d) Sei s(x) der natürliche Spline zu den Wertepaaren (x_{i}, y_{i}). Dann gilt s(x_{i}) = y_{i} für alle i.

e) Sei b(x) das Bezierpolynom zu den Wertepaaren (x_{i}, y_{i}). Dann gilt b(x_{i}) = y_{i} für alle i.

f) Wenn die Bezier-Darstellung eines Polynoms p(x) genau einen von Null verschiedenen Koeffizienten enthält, der exakt eins ist, so ist p ein Bernstein-Polynom.

Abgabe - in der Vorlesung am 14. Dezember oder

- vorher im Briefkasten zwischen den Räumen MA470, MA471

Besprechung im Tutorium am 17. Dezember