Technische Universität Berlin Sommersemester 2006 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

Projektblatt Advektionsgleichung zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen”

Lineare Advektionsgleichung u_{t} + au_{x} = 0

• allgemeine Lösung: ρ(x, t) = ρ_{0}(x − at), x ∈ ℝ, t ∈ ℝ ρ_{0} evtl. unstetig (singulär)

• Lösung konstant entlang der Charakteristik x − at = konst. t = \frac{x−c}{a}, c = x_{0} Transport der Information entlang der Charakteristiken

Charakteristik erfüllt \begin{cases}ẋ(t) = a \\ x(0) = x_{0} \end{cases} x(t) = at + x_{0}

Lösung ρ entlang der Charakteristik (x(t), t)

\frac{d}{dt}ρ(x(t), t) = ρ_{x} \underbrace{ẋ(t)}_{=a} +ρ_{t} = 0 ⇒ ρ = konst.

Advektionsgleichung mit variablen Koeffizienten u_{t} + (a(x)u)_{x} = 0

• Lösung ρ entlang der Charakteristik (x(t), t) mit \begin{cases}ẋ(t) = a(x(t)) \\ x(0) = x_{0} \end{cases}

\frac{d}{dt}ρ(x(t), t) = ρ_{x} \underbrace{ẋ(t)}_{=a(x(t))} +ρ_{t} = −a′(x(t))ρ(x(t), t)  (1)

nicht konstant, aber aus gewöhnlicher Differentialgleichung (1) berechenbar. Beispiel: a(x) = x ⇒ x(t) = x_{0}e^{t} t = ln \frac{x}{x_{0}} , \frac{d}{dt}ρ(x(t), t) = −ρ(x(t), t) Regularität der Lösung unverändert in t, d.h. ρ_{0} ∈ C^{k}(ℝ) ⇒ ρ(., t) ∈ C^{k}(ℝ), t > 0 ρ ∈ C^{k}(ℝ_{x} × ℝ_{t})

\underline{Aufgabe}

Gegeben sei die lineare Advektionsgleichung

u_{t} + au_{x} = 0,  u|_{t=0} = u_{0},  (2)

mit der Konstanten a und der integrierbaren Anfangsverteilung u_{0}. Überprüfen Sie, daß die Funktion u(x, t) = u_{0}(x − at) die Integralform von (2):

∫_{x_{1}}^{x_{2}} u(x, t_{2}) dx = ∫_{x_{1}}^{x_{2}} u(x, t_{1}) dx + a ∫_{t_{1}}^{t_{2}} u(x_{1}, t) dt − a ∫_{t_{1}}^{t_{2}} u(x_{2}, t) dt,  (3)

für beliebige x_{1}, x_{2}, t_{1} und t_{2} erfüllt.

Aufgabe zur Stabilität und CFL–Bedingung

Programmieren Sie das Lax-Friedrichs-Schema angewandt auf das periodische Anfangsrandwertproblem

u_{t}(x, t) + u_{x}(x, t) = 0,
u(x, 0) = \frac{x^{2}}{2} (\frac{x^{2}}{2} − 1) für x ∈ [−1, 1],  (*)
u(1, t) = u(−1, t) für t ∈ [0, ∞).

Untersuchen Sie, was passiert, wenn die CFL–Bedingung (wie lautet sie?) verletzt ist. Plotten Sie hierzu die Anfangsverteilung, die Lösung zu den Zeitpunkten T = 2, 4, ..., wenn Δt < Δx bzw. Δt = Δx gewählt wird, sowie die Lösung zum Zeitpunkt T = 4, wenn man Δt = 1/50 und Δx = 1/55 wählt. Kommentieren Sie das Ergebnis.

Aufgabe zur Numerik linearer Systeme: Numerische Diffusion und Dispersion

a) Zeigen Sie, daß das Lax-Wendroff-Schema zum Lösen von u_{t} + Au_{x} = 0 :

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{2h}A(U_{j+1}^{n} − U_{j−1}^{n}) + \frac{k^{2}}{2h^{2}} A^{2}(U_{j+1}^{n} − 2U_{j}^{n} + U_{j−1}^{n})  (4)

eine Approximation dritter Ordnung zu der modifizierten Gleichung

u_{t} + Au_{x} = \frac{h^{2}}{6} A (\frac{k^{2}}{h^{2}} A^{2} − I) u_{xxx}  (5)

ist.

b) Programmieren Sie das Schema (4) für das Problem

u_{t}(x, t) + u_{x}(x, t) = 0,
u(1, t) = u(−1, t) für t ∈ [0, ∞)

und untersuchen Sie, was in den folgenden zwei Situationen passiert:

(i) u(x, 0) = \frac{x^{2}}{2} (\frac{x^{2}}{2} − 1), x ∈ [−1, 1] mit k = \frac{1}{50} und h = \frac{1}{30}

(ii) u(x, 0) = \begin{cases}1 & , −1 ≤ x < 0 \\ 0 & , 0 ≤ x ≤ 1 \end{cases} mit k = \frac{1}{200} und h = \frac{1}{100}.

Plotten Sie das Resultat am Zeitpunkt T =2 und kommentieren Sie es in Hinblick auf (5).

c) Berechnen Sie die modifizierte Gleichung der expliziten Euler-Methode

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{2h}A(U_{j+1}^{n} − U_{j−1}^{n}).

Erklären Sie, weshalb diese Methode für alle k/h instabil sein wird.

Konservative Verfahren: Aufgabe

Zeigen Sie, daß das Lax-Wendroff–Verfahren zur Lösung von u_{t}+au_{x} = 0 hergeleitet werden kann, indem man u(x_{j} − ak, t_{n}) mittels quadratischer Interpolation an den Punkten U_{j−1}^{n}, U_{j}^{n}, U_{j+1}^{n} approximiert. Benutzen Sie diese Interpretation, um zu erklären, warum Oszillationen an einer Unstetigkeitsstelle beim Lax-Wendroff–Verfahren, aber nicht beim Upwind oder Lax-Friedrichs auftreten.

Aufgabe zu Hochgenaue Methoden: Flußbegrenzung, Anstiegsbegrenzung

Lösen Sie numerisch die folgende skalare Advektionsgleichung

\frac{∂u}{∂t} + \frac{1}{2} \frac{∂u}{∂x} = 0, −1 < x < 2, t > 0

mit homogenen Neumann-Randbedingungen

u_{x}(−1, t) = u_{x}(2, t) = 0, t > 0

und stückweise konstanten Anfangsdaten

u(x, 0) = \begin{cases}0.25 & , −1 ≤ x < −0.5 \\ 0.75 & , −0.5 ≤ x < −0.1 \\ 1.5 & , −0.1 ≤ x < 0.6 \\ 1.75 & , 0.6 ≤ x ≤ 2 \end{cases} .

Implementieren Sie hierzu das Godunov-Verfahren sowie das Verfahren mit Minmod-Anstiegsbegrenzung. Vergleichen Sie die Resultate mit denen vom Lax-Friedrichs-Schema (5. Übungsblatt) und Lax-Wendroff-Schema (6. Übungsblatt). Plotten Sie die Lösungen im Intervall [−0.2, 1.4] jeweils zum Zeitpunkt T = 1 für die zwei Situationen Δt = 1/200, Δx = 1/100 und Δt = 1/800, Δx = 1/400.

Literatur:

• R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser, 1990, Kapitel 3.1