Technische Universität Berlin Sommersemester 2006 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

Projektblatt Isotherme Euler–Gleichung zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen”

Wir betrachten die Gasströmung in einer Röhre, die in einem Bad mit konstanter Temperatur T̄ eingetaucht ist und nehmen an, daß dieses Bad eine konstante Temperatur innerhalb des Gases aufrechterhält. Dann reduziert sich das ideale Gasgesetz p = RρT zu

p = c^{2}ρ,  (1)

wobei c^{2} ≡ RT̄ eine Konstante und c die Schallgeschwindigkeit ist. Die Aufrechterhaltung dieser konstanten Temperatur benötigt einen Wärmefluß durch die Rohrwand und somit wird die Energie in der Röhre nicht mehr konserviert. Allerdings bleiben weiterhin Masse und Impuls erhalten und diese Erhaltungsgleichungen zusammen mit der Zustandsgleichung (1) führen zu der isothermen Euler–Gleichung

(\begin{matrix}ρ \\ m \end{matrix})_{t} + (\begin{matrix}m \\ m^{2}/ρ + c^{2}ρ \end{matrix})_{x} = 0.  (2)

\underline{Aufgabe}

Leiten Sie die folgenden Ausdrücke

ρ(ξ) = ρ_{l} e^{(ξ−ξ_{1})/c},
m(ξ) = ρ_{l}(ξ − c) e^{(ξ−ξ_{1})/c},

also

m(ρ) = ρ \frac{m_{l}}{ρ_{l}} + cρ ln \frac{ρ}{ρ_{l}}  (3)

für 2-Verdünnungswellen im Phasenraum der isothermen Eulergleichung (2) her. Benutzen Sie dazu

r_{2}(u) = (\begin{matrix}1 \\ m/ρ + c \end{matrix}) , ∇_{u}λ_{2}(u) · r_{2}(u) = \frac{c}{ρ}.

\underline{Aufgabe}

Überprüfen Sie anhand von (3), daß m′(ρ_{l}) = λ_{2}(u_{l}) gilt und erklären Sie, warum dies so sein muß.

Literatur:

• R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser, 1990, Kapitel 5.3