Technische Universität Berlin Sommersemester 2006 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

1. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Skalare Erhaltungsgleichungen und lineare hyperbolische Systeme)

\underline{1. Aufgabe} (UE)

Gegeben sei die lineare Advektionsgleichung

u_{t} + au_{x} = 0,  u|_{t=0} = u_{0},  (1)

mit der Konstanten a und der integrierbaren Anfangsverteilung u_{0}. Überprüfen Sie, daß die Funktion u(x, t) = u_{0}(x − at) die Integralform von (1):

∫_{x_{1}}^{x_{2}} u(x, t_{2}) dx = ∫_{x_{1}}^{x_{2}} u(x, t_{1}) dx + a ∫_{t_{1}}^{t_{2}} u(x_{1}, t) dt − a ∫_{t_{1}}^{t_{2}} u(x_{2}, t) dt,  (2)

für beliebige x_{1}, x_{2}, t_{1} und t_{2} erfüllt.

\underline{2. Aufgabe} (6 Punkte (2+4))

Betrachten Sie das eindimensionale, skalare Cauchyproblem

u_{t} + f(u)_{x} = 0,  u|_{t=0} = u_{0}.  (3)

a) Zeigen Sie, daß sich die von den zwei Punkten x_{1} < x_{2} ausgehenden Charakteristi-

ken zum Zeitpunkt

T = \frac{x_{2} − x_{1}}{f′(u_{0}(x_{1})) − f′(u_{0}(x_{2}))}

schneiden und folgern Sie daraus, daß das Problem (3) genau dann eine klassische Lösung besitzt, wenn f′(u_{0}(x)) monoton steigend in x ist.

b) Sei nun die Flußfunktion f(u) konvex und für die Anfangsbedingung gelte u′_{0}(ξ) < 0. Zeigen Sie, daß sich die von einer Umgebung von ξ ausgehenden Charakteristiken spätestens zum Zeitpunkt

T = −\frac{1}{f′′(u_{0}(ξ))u′_{0}(ξ)}

kreuzen und schließen Sie daraus, daß das Cauchyproblem (3) mit stetig differenzierbaren Anfangsdaten u_{0} eine auf das Zeitintervall t ∈ [0, T] eingeschränkte Lösung besitzt, wobei

T = −\frac{1}{min(α, 0)}, α = min_{x∈ℝ} \frac{d}{dx}f′(u_{0}(x))

gilt. Warum gibt es im linearen Fall (f(u)_{x} = au_{x}) immer eine klassische Lösung?

\underline{3. Aufgabe} (4 Punkte) Lösen Sie die linearisierte Flachwassergleichung

(\begin{matrix}v \\ φ \end{matrix})_{t} + (\begin{matrix}v̄ & 1 \\ φ̄ & v̄ \end{matrix}) (\begin{matrix}v \\ φ \end{matrix})_{x} = 0,  (4)

wobei v̄ und φ̄ Konstanten sind, mit gegebenen Anfangsbedingungen für v und φ. \underline{4. Aufgabe} (UE) Überprüfen Sie, daß die Linearisierung der Flachwassergleichung

(\begin{matrix}v \\ φ \end{matrix})_{t} + (\begin{matrix}v^{2}/2 + φ \\ vφ \end{matrix})_{x} = 0,  (5)

das System (4) liefert. Was ist die “Schallgeschwindigkeit” für dieses System?

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Fr, 5.05. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Di, 9.05. vor der Vorlesung.