Technische Universität Berlin Sommersemester 2006 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

2. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen”

(Nichtlineare hyperbolische Systeme: Hugoniot–Locus, Schocks, Verdünnungswellen und Integralkurven)

\underline{1. Aufgabe} (UE)

Bestimmen Sie den Hugoniot–Locus der Flachwassergleichung

(\begin{matrix}v \\ φ \end{matrix})_{t} + (\begin{matrix}v^{2}/2 + φ \\ vφ \end{matrix})_{x} = 0.  (1)

\underline{2. Aufgabe} (6 Punkte (2+2+2))

Betrachten Sie die Flachwassergleichung (1).

a) Zeigen Sie, daß eine schwache Lösung des Riemann–Problems, die nur aus Schocks besteht, immer existiert, falls φ_{l}, φ_{r} > 0 ist. Bestimmen Sie den Zwischenzustand u_{m} für gegebene Zustände u_{l} und u_{r}.

b) Zeigen Sie, daß beide Felder echt nichtlinear sind.

c) Geben Sie eine physikalische Interpretation der Entropiebedingung für dieses System an.

\underline{3. Aufgabe} (UE)

Leiten Sie die folgenden Ausdrücke

ρ(ξ) = ρ_{l} e^{(ξ−ξ_{1})/c},
m(ξ) = ρ_{l}(ξ − c) e^{(ξ−ξ_{1})/c},

also

m(ρ) = ρ \frac{m_{l}}{ρ_{l}} + cρ ln \frac{ρ}{ρ_{l}}  (*)

für 2-Verdünnungswellen im Phasenraum der isothermen Eulergleichungen

(\begin{matrix}ρ \\ m \end{matrix})_{t} + (\begin{matrix}m \\ m^{2}/ρ + c^{2}ρ \end{matrix})_{x} = 0.

her. Benutzen Sie dazu

r_{2}(u) = (\begin{matrix}1 \\ m/ρ + c \end{matrix}) , ∇_{u}λ_{2}(u) · r_{2}(u) = \frac{c}{ρ}.

\underline{4. Aufgabe} (4 Punkte) Überprüfen Sie anhand von (*), daß m′(ρ_{l}) = λ_{2}(u_{l}) gilt und erklären Sie, warum dies so sein muß.

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Fr, 19.05. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Di, 23.05. vor der Vorlesung.