Technische Universität Berlin Sommersemester 2006 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

3. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen”

(Numerik linearer Systeme: Stabilität, CFL–Bedingung, numerische Diffusion und Dispersion)

\underline{1. Aufgabe} (5 Punkte)

Programmieren Sie das Lax-Friedrichs-Schema angewandt auf das periodische Anfangsrandwertproblem

u_{t}(x, t) + u_{x}(x, t) = 0,
u(x, 0) = \frac{x^{2}}{2} (\frac{x^{2}}{2} − 1) für x ∈ [−1, 1],  (*)
u(1, t) = u(−1, t) für t ∈ [0, ∞).

Untersuchen Sie, was passiert, wenn die CFL–Bedingung (wie lautet sie?) verletzt ist. Plotten Sie hierzu die Anfangsverteilung, die Lösung zu den Zeitpunkten T = 2, 4, ..., wenn Δt < Δx bzw. Δt = Δx gewählt wird, sowie die Lösung zum Zeitpunkt T = 4, wenn man Δt = 1/50 und Δx = 1/55 wählt. Kommentieren Sie das Ergebnis.

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte (2+3))

a) Zeigen Sie, daß das Lax-Wendroff-Schema zum Lösen von u_{t} + Au_{x} = 0 :

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{2h}A(U_{j+1}^{n} − U_{j−1}^{n}) + \frac{k^{2}}{2h^{2}} A^{2}(U_{j+1}^{n} − 2U_{j}^{n} + U_{j−1}^{n})  (1)

eine Approximation dritter Ordnung zu der modifizierten Gleichung

u_{t} + Au_{x} = \frac{h^{2}}{6} A (\frac{k^{2}}{h^{2}} A^{2} − I) u_{xxx}  (2)

ist.

b) Programmieren Sie das Schema (1) für das Problem

u_{t}(x, t) + u_{x}(x, t) = 0,
u(1, t) = u(−1, t) für t ∈ [0, ∞)

und untersuchen Sie, was in den folgenden zwei Situationen passiert:

(i) u(x, 0) = \frac{x^{2}}{2} (\frac{x^{2}}{2} − 1), x ∈ [−1, 1] mit k = \frac{1}{50} und h = \frac{1}{30}

(ii) u(x, 0) = \begin{cases}1 & , −1 ≤ x < 0 \\ 0 & , 0 ≤ x ≤ 1 \end{cases} mit k = \frac{1}{200} und h = \frac{1}{100}.

Plotten Sie das Resultat am Zeitpunkt T =2 und kommentieren Sie es in Hinblick auf (2).

\underline{3. Aufgabe} (UE) Berechnen Sie die modifizierte Gleichung der expliziten Euler-Methode

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{2h}A(U_{j+1}^{n} − U_{j−1}^{n}).

Erklären Sie, weshalb diese Methode für alle k/h instabil sein wird.

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Fr, 2.06. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Fr, 6.06. vor der Vorlesung.