Technische Universität Berlin Sommersemester 2006 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

4. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Konservative Verfahren: Konsistenz, Zweischritt–Verfahren und approximative Riemann–Löser)

\underline{1. Aufgabe} (UE)

Zeigen Sie, daß das modifizierte Upwind-Schema

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{h}U_{j}^{n}(U_{j}^{n} − U_{j−1}^{n})

zum Lösen der Burgers Gleichung in der quasilinearen Form

u_{t} + uu_{x} = 0

(unter der Annahme u(x, t) ≥ 0 für alle x, t) konsistent ist zu den beiden Gleichungen

u_{t} + (\frac{1}{2}u^{2})_{x} = 0,

(u^{2})_{t} + (\frac{2}{3}u^{3})_{x} = 0,

die jedoch andere Schockgeschwindigkeiten besitzen.

\underline{2. Aufgabe} (UE)

Überprüfen Sie, daß der Lax-Friedrichs-Fluß

F (U_{j}^{n}, U_{j+1}^{n}) = \frac{h}{2k} (U_{j}^{n} − U_{j+1}^{n}) + \frac{1}{2}(f(U_{j}^{n}) + f(U_{j+1}^{n}))

konsistent ist (inklusive der Lipschitz–Stetigkeit).

\underline{3. Aufgabe} (5 Punkte (1+2+2))

Das Richtmyer-Zweischritt-Lax-Wendroff-Verfahren ist gegeben durch

U_{j+1/2}^{n+1/2} = \frac{1}{2}(U_{j}^{n} + U_{j+1}^{n}) − \frac{k}{2h}[f(U_{j+1}^{n}) − f(U_{j}^{n})]
U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{h}[f(U_{j+1/2}^{n+1/2}) − f(U_{j−1/2}^{n+1/2})].

Zeigen Sie:

a) Für lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten reduziert sich das Verfahren auf die klassische Lax-Wendroff-Methode.

b) Das Verfahren ist 2.Ordnung (für glatte Lösungen des nichtlinearen Problems).

c) Das Verfahren ist konservativ. Wie lautet der numerische Fluß?

\underline{4. Aufgabe} (UE)

Zeigen Sie, daß das Lax-Wendroff–Verfahren zur Lösung von u_{t}+au_{x} = 0 hergeleitet werden kann, indem man u(x_{j} − ak, t_{n}) mittels quadratischer Interpolation an den Punkten U_{j−1}^{n}, U_{j}^{n}, U_{j+1}^{n} approximiert. Benutzen Sie diese Interpretation, um zu erklären, warum Oszillationen an einer Unstetigkeitsstelle beim Lax-Wendroff–Verfahren, aber nicht beim Upwind oder Lax-Friedrichs auftreten.

\underline{5. Aufgabe} (3 Punkte)

Überprüfen Sie, daß bei der numerischen Berechnung der approximativen Riemann– Lösung ŵ(x/t) betrachtet als exakte Riemann–Lösung einer modifizierten Erhaltungsgleichung û_{t} + f̂(û)_{x} = 0 die resultierende numerische Flußfunktion gegeben ist durch

F (u_{l}, u_{r}) = f̂(ŵ(0)) + f(u_{r}) − f̂(u_{r}).

\underline{6. Aufgabe} (2 Punkte)

Bestimmen Sie eine Roe–Matrix für die Flachwassergleichung

(\begin{matrix}v \\ φ \end{matrix})_{t} + (\begin{matrix}v^{2}/2 + φ \\ vφ \end{matrix})_{x} = 0.

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Fr, 16.06. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Fr, 20.06. vor der Vorlesung.