Technische Universität Berlin Sommersemester 2006 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

6. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Mehrdimensionale Probleme: ENO–Methode, Semidiskrete Methoden, Splitting–Verfahren)

\underline{1. Aufgabe} (UE)

Zeigen Sie, daß die ENO–Methode mit q = 2 (quadratische Interpolation von W) eine stückweise lineare Rekonstruktion von u liefert, deren Steigungen mit dem minmod– Anstieg

σ_{j} = \frac{1}{h} minmod(U_{j+1} − U_{j}, U_{j} − U_{j−1})

übereinstimmen.

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte)

Zeigen Sie anhand des linearen Problems

u_{t} + u_{x} + u_{y} = 0

mit den Anfangsdaten

U_{ij}^{0} = \begin{cases}1, & i + j < 0 \\ 0, & i + j ≥ 0 \end{cases} ,

daß die zweidimensionale Version des Godunov–Verfahrens aus der Vorlesung maximal die folgende Stabilitäts-Schranke

\frac{k}{h} max(|f′(u)| , |g′(u)|) ≤ \frac{1}{2}

besitzt.

\underline{3. Aufgabe} (5 Punkte)

Bestimmen Sie den lokalen Abschneidefehler für das Strang–Splitting

U^{n+1} = H_{k/2}^{x}H_{k}^{y}H_{k/2}^{x}U^{n}

als Funktion der Abschneidefehler der 1D–Methoden und des Splittingfehlers.

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Fr, 14.07. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Fr, 18.07. vor der Vorlesung.