Technische Universität Berlin Wintersemester 03/04 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

Projektblatt Burgers–Gleichung zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen”

Die (viskose) Burgers–Gleichung

Die Gleichung

u_{t} + uu_{x} = εu_{xx}, u|_{t=0} = u_{0},  (1)

heißt (viskose) Burgers–Gleichung. Wir beschäftigen uns hauptsächlich mit der Gleichung (ε = 0):

u_{t} + uu_{x} = 0,  u|_{t=0} = u_{0},  (2)

und nennen sie die nicht–viskose Burgers–Gleichung.

Charakteristikenverfahren und Lösungsbegriff

Mit dem Ansatz u(x(s), t(s)) ≡ konst. ergibt sich für (x, t) aus ṫu_{t} + ẋu_{x} = 0 und der nicht–viskosen Burgers–Gleichung das DGL–System

\begin{aligned}ṫ & = & 1, \\ ẋ & = & u(x, t) = konst. \end{aligned}  (3)

Damit ist die Lösung u auf der Geraden (x, t) = (x_{0} + tu_{0}(x_{0}), t) konstant mit u(x, t) ≡ u_{0}(x_{0}).

Damit lassen sich für unstetige u_{0} auch unstetige “Lösungen” finden. Was wollen wir unter “Lösung” verstehen? Wir verwenden einen sog. “schwachen Lösungsbegriff”:

Schwache Lösung

Eine Funktion u heißt (schwache) Lösung der nicht–viskosen Burgers–Gleichung, wenn

∫_{0}^{∞} ∫_{ℝ} (uφ_{t} + \frac{1}{2}u^{2}φ_{x}) dxdt + ∫_{ℝ} u_{0}φ|_{t=0} dx = 0  (4)

für alle φ ∈ C_{0}^{1}([0, ∞) × ℝ).

\underline{Aufgabe}

Betrachten Sie das skalare Cauchyproblem (2) mit glatten Anfangsdaten u_{0}(x). Zeigen Sie, daß sich die von den zwei Punkten x_{1} < x_{2} ausgehenden Charakteristiken zum Zeitpunkt

T = \frac{x_{2} − x_{1}}{u_{0}(x_{1}) − u_{0}(x_{2})}

schneiden und folgern Sie daraus, daß das Problem (2) genau dann eine klassische Lösung besitzt, wenn u_{0}(x) monoton steigend in x ist. Gelte nun für die Anfangsbedingung u′_{0}(ξ) < 0. Zeigen Sie, daß sich die von einer Umgebung von ξ ausgehenden Charakteristiken spätestens zum Zeitpunkt

T = −\frac{1}{u′_{0}(ξ)}

kreuzen und schließen Sie daraus, daß das Cauchyproblem (2) mit stetig differenzierbaren Anfangsdaten u_{0} eine auf das Zeitintervall t ∈ [0, T] eingeschränkte Lösung besitzt mit

T = −\frac{1}{min_{x∈ℝ} u′_{0}(x)}

gilt. Verallgemeinern Sie diese Aussage für allgemeine skalare Erhalungsgleichungen u_{t} + f(u)_{x} = 0. Warum gibt es im linearen Fall (f(u)_{x} = au_{x}) immer eine klassische Lösung?

Schocks und Energieerhaltung

Beispiel 1 (aus der Vorlesung) Betrachte

u_{0}(x) = \{ \begin{matrix}1 & & x < −1 \\ −x & für & −1 ≤ x ≤ 0 \\ 0 & & x > 0 \end{matrix} .  (5)

Problem: Die nicht–viskose Burgers–Gleichung besitzt nur für t < 1 eine durch das Charakteristikenverfahren gegebene Lösung. Dann kreuzen sich Charakteristiken und es ist nicht mehr klar, welche Werte eine Lösung nun annehmen soll. Jedenfalls werden sich Unstetigkeiten in der Lösung wohl nicht vermeiden lassen.

Unstetigkeiten in der Lösung nennen wir Schocks. Um Eigenschaften dieser Schocks zu finden, betrachten wir weitere Eigenschaften der nicht–viskosen Burgers–Gleichung.

Aus der Gleichung ergibt sich für C^{1}–Lösungen u durch Integration ∫_{x_{1}}^{x_{2}} … dx für alle x_{1}, x_{2} ∈ ℝ:

\frac{∂}{∂t} ∫_{x_{1}}^{x_{2}} u(x, t) dx + \frac{1}{2}(u(x_{2}, t)^{2} − u(x_{1}, t)^{2}) = 0.  (6)

Für lim_{x→±∞} u(x, t) = 0 gilt damit insbesondere

∫_{ℝ} u(x, t) dx = ∫_{ℝ} u_{0}(x) dx für alle t ≥ 0.  (7)

Daher nennen wir die nicht–viskose Burgers–Gleichung auch eine Erhaltungsgleichung. Wir fordern nun auch von unstetigen Lösungen, daß sie die Gleichung (6) erfüllen.

Sei u eine Lösung mit Schock. Beschreibe weiter x_{s}(t) die Position des Schocks. Sei u_{l}(t) := lim_{ε→0} u(x_{s} − ε, t) und u_{r}(t) := lim_{ε→0} u(x_{s} + ε, t). Dann gilt

\begin{aligned}0 & =^{!} \frac{∂}{∂t} ∫_{x_{1}}^{x_{2}} u dx + \frac{1}{2}(u(x_{2})^{2} − u(x_{1})^{2}) \\ & = ∫_{x_{1}}^{x_{s}(t)} u_{t} dx + ẋ_{s}u_{l} + ∫_{x_{s}(t)}^{x_{2}} u_{t} dx − ẋ_{s}u_{r} + \frac{1}{2}(u(x_{2})^{2} − u(x_{1})^{2}) \\ & = ẋ_{s}(u_{l} − u_{r}) − \frac{1}{2} (u_{l}^{2} − u_{r}^{2}) . \end{aligned}  (8)

Es ergibt sich also eine Bedingung an die Geschwindigkeit des Schocks.

Sprungbedingung oder Rankine-Hugoniot-Bedingung

Für die Geschwindigkeit eines Schocks gelte

ẋ_{s} = \frac{1}{2} (u_{l} + u_{r}) .  (9)

Beipiel 1 — Fortsetzung In unserem Beispiel ist ẋ_{s} = \frac{1}{2}. Wir beobachten: In jedem Punkt des Schocks treffen sich zwei Charakteristiken. Von jeder Seite des Schocks kommt eine. Man kann ihnen (in die Vergangenheit) bis zu den Anfangswerten folgen.

\underline{Aufgabe}

Lösen Sie die Burgers Gleichung (2) mit den Anfangsdaten

u_{0}(x) = \begin{cases}2, & x < 0 \\ 1, & 0 < x < 2 \\ 0, & x > 2. \end{cases} .  (10)

Skizzieren Sie die Charakteristiken und Schocklinien in der x − t-Ebene. Hinweis: Die beiden Schocks laufen in einem Punkt zu einem einzigen Schock zusammen.

Verdünnungswellen und die Entropiebedingung

Beispiel 2 Betrachte

u_{0}(x) = \begin{cases}0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} .  (11)

Nun haben wir einen ganzen Kegel, in dem wir die Lösung noch nicht kennen. Betrachten wir für ein beliebiges α ∈ (0, 1) die Funktion

u_{α}(x, t) = \begin{cases}0, & x < α\frac{t}{2} \\ α, & α\frac{t}{2} < x < (1 + α)\frac{t}{2} \\ 1, & x > (1 + α)\frac{t}{2} \end{cases} .  (12)

Jede dieser Funktionen u_{α} genügt der Sprungbedingung, d.h. wir haben noch immer nicht genug Regeln, um eine eindeutige Lösung festzulegen. Wir beobachten die Schocks von u_{α}: In jedem Punkt der Schocks treffen sich zwei Charakteristiken. Von jeder Seite der Schocks kommt eine. Wenn man ihnen folgt, gelangt man in die Zukunft. Um ein u_{α} eindeutig festzulegen müßte man Bedingungen an die Werte in einer Zukunft t > 1 stellen.

Im ersten Beispiel wurde der Schock durch die Anfangswerte festgelegt. Im zweiten Beispiel sind die Schocks durch zukünftige Werte festgelegt. Das ist mit unseren Vorstellungen von Kausalität nicht recht vereinbar. Daher fordern wir von der Lösung, daß sie eine weitere Bedingung erfüllen soll, die so etwas ausschließt.

Entropiebedingung

Für jeden Schock gelte, daß man den sich in ihm treffenden Charakteristiken bis zu den Anfangswerten folgen kann. Formal:

u_{l} > ẋ_{s} > u_{r}.  (13)

Beispiel 2 — Fortsetzung Die Lösung ist im Kegel K = {(x, t) : 0 < x < t} noch unbekannt. Weil die Werte links von K kleiner sind als rechts von K, kann (wegen der Entropiebedingung) in dem Kegel kein Schock auftreten, d.h. die Lösung muß dort stetig sein. Der Punkt (x = 0, t = 0) ist der einzig mögliche Unstetigkeitspunkt, d.h, der einzige Punkt, in dem sich Charakteristiken treffen dürfen. Also gibt es nun eine eindeutige Lösung:

u(x, t) = \begin{cases}0, x < 0 \\ x/t, & 0 ≤ x ≤ t \\ 1, & x > t \end{cases} .  (14)

Eindeutige Lösung

Wir können nun beschreiben, was wir als Lösung u_{SE} der nicht–viskosen Burgers-Gleichung akzeptieren. Nämlich eine mit dem Charakteristikenverfahren gewonnene Lösung, deren Charakteristiken sich nur in Schocks treffen dürfen, die der Sprungbedingung genügen. Die Schocks müssen dabei der Entropiebedingung genügen. Die so beschriebene Lösung ist eindeutig.

Lösung durch Grenzübergang

Die Gleichung

u_{t} + uu_{x} = εu_{xx},  u|_{t=0} = u_{0}  (15)

ist für ε > 0 eindeutig lösbar und hat glatte Lösungen für t > 0.

Viskositätslösung

Eine Viskositätslösung u_{V} der nicht–viskosen Burgers–Gleichung ist der Grenzwert der Lösungen u^{ε} der Burgers–Gleichung für ε → 0: u_{V} = lim_{ε→0} u^{ε}.

Eigentlich müßten wir unbedingt klären, in welchen Räumen wir diese Lösungen betrachten wollen, weil ein Limes nur durch die zugehörigen Normen definiert sein kann. Außerdem müßten wir zeigen, daß der Grenzwert überhaupt existiert. Das lassen wir hier aber alles bleiben. Wir untersuchen aber, was sich über die Schocks von u_{V} sagen läßt. Dazu betrachten wir (wieder nur) ein Beispiel:

u_{0}(x) = \begin{cases}u_{l}, & x < 0 \\ u_{r}, & x > 0 \end{cases} .  (16)

Falls die Lösung u_{V} in x_{s}(t) einen Schock hat, dann hat die Lösung u^{ε} dort eine sog. Grenzschicht. Mit der Grenzschichtvariablen

ξ = \frac{x − x_{s}(t)}{ε^{α}}  (17)

ergibt sich u_{t} = v_{t} − ε^{−α}ẋ_{s}v_{ξ} und

0 = u_{t} + uu_{x} − εu_{xx} = v_{t} − ε^{−α}ẋ_{s}v_{ξ} + ε^{−α}vv_{ξ} − ε^{1−2α}v_{ξξ}.  (18)

Mit α = 1 und ε = 0 ergibt sich die Gleichung

v_{ξξ} = (\frac{1}{2}v^{2})_{ξ} − ẋ_{s}v_{ξ}  bzw. v_{ξ} = \frac{1}{2}v^{2} − ẋ_{s}v + c.  (19)

Als “Randbedingungen” stellen sich

lim_{ξ→−∞} v = u_{l},  lim_{ξ→∞} v = u_{r}  und  lim_{ξ→±∞} v′ = 0.  (20)

Die letzte Randbedingung führt zu einem linearen Gleichungssystem für ẋ_{s} und c und liefert

ẋ_{s} = \frac{1}{2} (u_{l} + u_{r})  und c = \frac{1}{2} u_{l}u_{r}.  (21)

Damit ist

v_{ξ} = \frac{1}{2}(v − u_{l})(v − u_{r}).  (22)

Eine Betrachtung des Phasenbildes (v, v_{ξ}) zeigt, daß die ersten beiden Randbedingungen nur für u_{l} > u_{r} erfüllbar sind. Also treten für u_{l} < u_{r} keine Grenzschichten, und damit keine Schocks auf.

Damit haben wir gezeigt, daß die Viskositätslösung u_{V} die Sprungbedingung und die Entropiebedingung erfüllt.

Sei u_{V} glatt um (x_{0}, t_{0}) und u_{0} := u(x_{0}, t_{0}). Dann ist

\frac{∂}{∂s}u^{ε}(x_{0} + u_{0}s, t_{0} + s)|_{s=0} = εu^{ε}_{xx}(x_{0}, t_{0})  (23)

und u_{xx}^{ε}(x_{0}, t_{0}) ist gleichmäßig beschränkt für alle ε. Also ist \frac{∂}{∂s}u_{V} (x_{0} + u_{0}s, t_{0} + s)|_{s=0} = 0, d.h. die Charakteristiken von u_{V} sind die von u_{SE}. Damit ist u_{V} = u_{SE}.

\underline{Aufgabe}

Zeigen Sie, daß die viskose Gleichung (1) fortschreitende Wellenlösungen der Form u^{ε}(x, t) = w(x − st) besitzt indem Sie eine DGL für w herleiten und überprüfen, daß diese DGL Lösungen der Form

w(y) = u_{r} + \frac{1}{2}(u_{l} − u_{r})[1 − tanh((u_{l} − u_{r})y/2ε)]

mit s = \frac{1}{2}(u_{l} + u_{r}) hat. Beachten Sie, daß w(y) → u_{l} für y → −∞ und w(y) → u_{r} für y → ∞. Skizzieren Sie diese Lösung und untersuchen Sie daran den Grenzprozeß ε → 0.

Lösung der Burgers-Gleichung: Die Cole–Hopf–Transformation

Eine Lösung der Burgers–Gleichung läßt sich auf folgende Weise beschreiben: Sei φ_{0} eine Stammfunktion von u_{0}. Sei v die Lösung von

v_{t} = εv_{xx},  v|_{t=0} = v_{0} := exp (−\frac{φ_{0}}{2ε} ) .  (24)

Eine “explizite” Beschreibung von v ist

v(x, t) = (4πε^{2}t)^{− \frac{1}{2}} ∫_{ℝ} exp (−\frac{(x − y)^{2}}{4ε^{2}t} ) v_{0}(y) dy.  (25)

Dann genügt φ = −2ε ln v der Gleichung

φ_{t} + \frac{1}{2}φ_{x}^{2} = εφ_{xx},  φ|_{t=0} = φ_{0},  (26)

und u = φ_{x} löst die Burgers–Gleichung. (Die Substitution u = −2ε\frac{v_{x}}{v} heißt Cole–Hopf– Transformation.)

Bemerkungen

• Noch ein Beispiel: Sei

u_{0}(x) = \begin{cases}0, & x < 0 \\ 1, & 0 ≤ x ≤ 1 \\ 0, & x > 1 \end{cases} .  (27)

Dann ist

u(x, t) = \begin{cases}\begin{cases}0, & x < 0 \\ \frac{x}{t}, & 0 < x < t \\ 1, & t < x < 1 + \frac{t}{2} \\ 0, & x > 1 + \frac{t}{2} \end{cases} , & 0 < t ≤ 2 \\ \begin{cases}0, & x < 0 \\ \frac{x}{t}, & 0 < x < \sqrt{2t} \\ 0, & x > \sqrt{2t} \end{cases} , & t > 2 \end{cases} .  (28)

• Es gibt einige weitere Formulierungen der Entropiebedingung und andere Definitionen von Viskositätslösungen.

• Die Methoden, die wir zur Lösung der reduzierten Burgers–Gleichung angewendet haben, lassen sich auch auf andere Erhaltungsgleichungen der Form

u_{t} + (f(u))_{x} = 0,  u|_{t=0} = u_{0}.  (29)

mit f′′(u) > 0 für alle u (bzw. f strikt konvex) anwenden. Als Sprungbedingung ergibt sich dann

ẋ_{s} = \frac{f(u_{l}) − f(u_{r})}{u_{l} − u_{r}}  (30)

und die Entropiebedingung wird zu

f′(u_{l}) > ẋ_{s} > f′(u_{r}).  (31)

(Wegen der Konvexität von f folgt daraus u_{l} > u_{r}.)

• In numerischen Methoden werden Zeit- und Ortsschrittweiten Δt und Δx gewählt und u(jΔx, kΔt) wird durch u_{j}^{k} approximiert. Hier soll nur angemerkt werden, daß das naive Diskretisierungsschema

\frac{u_{j}^{k+1} − u_{j}^{k}}{Δt} + \frac{f(u_{j+1}^{k}) − f(u_{j−1}^{k})}{2Δx} = 0,  u_{j}^{0} = u_{0}(jΔx),  (32)

zur näherungsweisen Lösung von u_{t} + (f(u))_{x} = 0 nicht geeignet ist. Stattdessen kann man (zum Beispiel) sog. Upwind-Verfahren verwenden:

\frac{u_{j}^{k+1} − u_{j}^{k}}{Δt} = −\frac{1}{Δx} \begin{cases}f(u_{j}^{k}) − f(u_{j−1}^{k}), & f′(u_{j}^{k}) ≥ 0 \\ f(u_{j+1}^{k}) − f(u_{j}^{k}), & f′(u_{j}^{k}) ≤ 0 \end{cases} .  (33)

Oder man führt eine künstliche Viskosität εu_{xx} ein:

\frac{u_{j}^{k+1} − u_{j}^{k}}{Δt} + \frac{f(u_{j+1}^{k}) − f(u_{j−1}^{k})}{2Δx} = ε\frac{u_{j+1}^{k} − 2u_{j}^{k} + u_{j−1}^{k}}{Δx^{2}} .  (34)

Konservative Verfahren: Konsistenz Zeigen Sie, daß das modifizierte Upwind-Schema

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{h}U_{j}^{n}(U_{j}^{n} − U_{j−1}^{n})

zum Lösen der Burgers–Gleichung in der quasilinearen Form

u_{t} + uu_{x} = 0

(unter der Annahme u(x, t) ≥ 0 für alle x, t) konsistent ist zu den beiden Gleichungen

u_{t} + (\frac{1}{2}u^{2})_{x} = 0,

(u^{2})_{t} + (\frac{2}{3}u^{3})_{x} = 0,

die jedoch andere Schockgeschwindigkeiten besitzen. Literatur: (L) R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser, 1990, Kapi-

tel 3.2 (W) G. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, Wiley-Interscience, 1974, Kapitel 4.