Technische Universität Berlin Wintersemester 03/04 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

Projektblatt Flachwassergleichung zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen”

Wir betrachten ein Fluid in einem Kanal und nehmen an, daß die vertikale Geschwindigkeit des Fluids vernachlässigbar ist und Horizontalgeschwindigkeit v(x, t) in jedem senkrechten Querschnitt annähernd konstant ist. Dies trifft zu, wenn wir Amplitudenwellen in einem Fluid betrachten, das seicht ist relativ zur Wellenlänge. Wir nehmen nun an, daß das Fluid inkompressibel ist, d.h. die Dichte ρ̄ ist konstant. Stattdessen variiert die Höhe h(x, t) und somit ergibt sich die Gesamtmasse im Intervall [x_{1}, x_{2}] zur Zeit t als

Gesamtmasse in [x_{1}, x_{2}] = ∫_{x_{1}}^{x_{2}} ρ̄h(x, t) dx.

Der Impuls an jedem Punkt ist ρ̄v(x, t) und eine vertikale Integration davon ergibt den Massenfluß ρ̄v(x, t) h(x, t). Die Konstante ρ̄ fällt heraus aus der Erhaltungsgleichung für die Masse

h_{t} + (vh)_{x} = 0.  (1)

Die Erhaltungsgleichung für den Impuls hat die gleiche Form wie bei den Euler Gleichungen, nämlich

(ρ̄hv)_{t} + (ρ̄hv^{2} + p)_{x} = 0,  (2)

wobei der Druck p bestimmt wird durch ein hydrostatisches Gesetz, welches besagt, daß der Druck in der Tiefe y gleich ρ̄gy ist (g ist die Gravitationskonstante). Integiert man dieses Gesetz vertikal von y = 0 bis y = h(x, t) ergibt dies den Gesamtdruck an (x, t):

p = \frac{1}{2}ρ̄gh^{2}.  (3)

Benutzt man dies in (2), so erhält man

(hv)_{t} + (hv^{2} + \frac{1}{2}gh^{2})_{x} = 0,  (4)

Gleichung (4) kann vereinfacht werden, indem man die Terme ausdifferenziert und mit Hilfe von (1) den h_{t} Term ersetzt. Dann reduziert sich (4) zu

(v)_{t} + (\frac{1}{2}v^{2} + gh)_{x} = 0.  (5)

Schließlich kann die explizite Abhängigkeit von g durch die Einführung der neuen Variablen φ = gh in (1) und (5) eliminiert werden. Man erhält das System für die eindimensionale Flachwassergleichung:

(\begin{matrix}v \\ φ \end{matrix})_{t} + (\begin{matrix}v^{2}/2 + φ \\ vφ \end{matrix})_{x} = 0.  (FWG)

Linearisierung von nichtlinearen Systemen

a) Lösen Sie die linearisierte Flachwassergleichung

(\begin{matrix}v \\ φ \end{matrix})_{t} + (\begin{matrix}v̄ & 1 \\ φ̄ & v̄ \end{matrix}) (\begin{matrix}v \\ φ \end{matrix})_{x} = 0,  (LFWG)

wobei v̄ und φ̄ Konstanten sind, mit gegebenen Anfangsbedingungen für v und φ.

b) Überprüfen Sie, daß die Linearisierung der Flachwassergleichung (FWG) das System (LFWG) liefert. Was ist die “Schallgeschwindigkeit” für dieses System?

Nichtlineare Systeme: Hugoniot-Locus, Schocks

Betrachten Sie die Flachwassergleichung (FWG).

a) Bestimmen Sie den Hugoniot–Locus.

b) Zeigen Sie, daß eine schwache Lösung des Riemann–Problems, die nur aus Schocks besteht, immer existiert, falls φ_{l}, φ_{r} > 0 ist. Bestimmen Sie den Zwischenzustand u_{m} für gegebene Zustände u_{l} und u_{r}.

c) Zeigen Sie, daß beide Felder echt nichtlinear sind.

d) Geben Sie eine physikalische Interpretation der Entropiebedingung für dieses System an.

Konservative Verfahren: Approximative Riemann–Löser

Bestimmen Sie eine Roe–Matrix für die Flachwassergleichung (FWG). Anwendung Lawinen (N), atmosphärische Strömungen (M)

Literatur:

(L1) R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser, 1990, Kapitel 5.4.

(L2) R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002, Kapitel 13.

(M) A. Majda, Introduction to PDEs and waves for the atmosphere and ocean, Courant Lecture Notes in Mathematics 9, American Mathematical Society (AMS), 2003.

(N) A.N. Nazarov, Mathematical modeling of a snow-powder avalanche in the framework of the equations of two-layer shallow water, Fluid Dyn. 26 (1991) 70–75.

(W) G. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, Wiley-Interscience, 1974, Kapitel 5.7 und Kapitel 13.

(WSS) A. Vande Wouwer, Ph. Saucez und W.E. Schiesser, Adaptive Method of Lines, Chapman & Hall, 2001, Kapitel 5 und Kapitel 6.