Technische Universität Berlin Wintersemester 03/04 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

4. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Nichtlineare hyperbolische Systeme: Verdünnungswellen und Integralkurven)

\underline{1. Aufgabe} (6 Punkte)

Leiten Sie die folgenden Ausdrücke

ρ(ξ) = ρ_{l} e^{(ξ−ξ_{1})/c},
m(ξ) = ρ_{l}(ξ − c) e^{(ξ−ξ_{1})/c},

also

m(ρ) = ρ \frac{m_{l}}{ρ_{l}} + cρ ln \frac{ρ}{ρ_{l}}  (*)

für 2-Verdünnungswellen im Phasenraum der isothermen Eulergleichungen

(\begin{matrix}ρ \\ m \end{matrix})_{t} + (\begin{matrix}m \\ m^{2}/ρ + c^{2}ρ \end{matrix})_{x} = 0.

her. Benutzen Sie dazu

r_{2}(u) = (\begin{matrix}1 \\ m/ρ + c \end{matrix}) , ∇_{u}λ_{2}(u) · r_{2}(u) = \frac{c}{ρ}.

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte)

Überprüfen Sie anhand von (*), daß m′(ρ_{l}) = λ_{2}(u_{l}) gilt und erklären Sie, warum dies so sein muß.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 25.11. vor der Vorlesung.