Technische Universität Berlin Wintersemester 03/04 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

7. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Konservative Verfahren: Konsistenz, Zweischritt–Verfahren)

\underline{1. Aufgabe} (3 Punkte) Zeigen Sie, daß das modifizierte Upwind-Schema

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{h}U_{j}^{n}(U_{j}^{n} − U_{j−1}^{n})

zum Lösen der Burgers Gleichung in der quasilinearen Form

u_{t} + uu_{x} = 0

(unter der Annahme u(x, t) ≥ 0 für alle x, t) konsistent ist zu den beiden Gleichungen

u_{t} + (\frac{1}{2}u^{2})_{x} = 0,

(u^{2})_{t} + (\frac{2}{3}u^{3})_{x} = 0,

die jedoch andere Schockgeschwindigkeiten besitzen. \underline{2. Aufgabe} (2 Punkte) Überprüfen Sie, daß der Lax-Friedrichs-Fluß

F (U_{j}^{n}, U_{j+1}^{n}) = \frac{h}{2k} (U_{j}^{n} − U_{j+1}^{n}) + \frac{1}{2}(f(U_{j}^{n}) + f(U_{j+1}^{n}))

konsistent ist (inklusive der Lipschitz–Stetigkeit). \underline{3. Aufgabe} (5 Punkte (1+2+2)) Das Richtmyer-Zweischritt-Lax-Wendroff-Verfahren ist gegeben durch

U_{j+1/2}^{n+1/2} = \frac{1}{2}(U_{j}^{n} + U_{j+1}^{n}) − \frac{k}{2h}[f(U_{j+1}^{n}) − f(U_{j}^{n})]
U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{h}[f(U_{j+1/2}^{n+1/2}) − f(U_{j−1/2}^{n+1/2})].

Zeigen Sie:

a) Für lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten reduziert sich das Verfahren auf die klassische Lax-Wendroff-Methode.

b) Das Verfahren ist 2.Ordnung (für glatte Lösungen des nichtlinearen Problems).

c) Das Verfahren ist konservativ. Wie lautet der numerische Fluß?

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 16.12. vor der Vorlesung.