§ 1. Einführung in die asymptotischen Approximationen

1.1 Einführung

• Beispiel 1: Das Projektil-Problem
• Skalierung der Variablen
• Entdimensionalisierung
• Reduziertes Problem

1.2 Satz von Taylor und Regel von l'Hospital

• Satz 1: Satz von Taylor
• Beispiel 1: Binomialentwicklung
• Beispiel 2: Exponentialfunktion
• Beispiel 3: trigonometrische Funktionen
• Maclaurin-Reihen (Maple Programm)
• Satz 2: Regel von l'Hospital

1.3 Ordnungssymbole (Bachmann-Landau-Symbole)

• Definition 1: groß O
• Beispiel 1:
• Definition 2: klein o und das Symbol «
• Beispiel 2:
• Definition 3: groß O_s

• Lemma 1: Alternative Methoden zur Bestimmung der Ordnung
• Beispiel 3:
• Definition 4: transcendental small term (TST)
• Lemma 2: Elementare Eigenschaften der Ordnungssymbole
• Das Symbol ≈

1.4 Asymptotische Approximationen

• Beispiel 1:
• Definition 1: Asymptotische Approximation und das Symbol ∼
• Beispiel 2:
• Definition 2: Asymptotische Folge, wohlgeordnet
• Definition 3: N-Term asymptotische Entwicklung, Skalierungsfunktionen
• Beispiel 3: Skalierungsfunktionen

• Asymptotische Entwicklung explizit gegebener Funktionen
• Methode mit dem Satz von Taylor
• Beispiel 4:
• Methode mit der Regel von l'Hospital
• Beispiel 5:
• Beispiel 6: Funktionen können gleiche asymptotische Entwicklungen haben
• Definition 4: n-Term asymptotisch gleich
• Genauigkeit und Konvergenz asymptotischer Entwicklungen
• Beispiel 7: divergente asymptotische Entwicklung: Bessel-Funktion J₀(1/ε)
• Beispiel 8: konvergente Reihe und divergente asymptotische Entwicklung: erf(z)
• Manipulation von asymptotischen Entwicklungen
• Satz 1: Multiplikation von asymptotischen Entwicklungen
• Differentiation von asymptotischen Entwicklungen
• Beispiel 9: Ableitung von f besitzt keine Entwicklung bzgl. der asymptotischen Folge: f(x,ε)=exp(-x/ε) sin(exp(x/ε))
• Beispiel 10: Ableitungen von Φ₁, Φ₂ sind nicht wohlgeordnet: Φ₁(x,ε)=1+x, Φ₂(x,ε)=ε sin(x/ε)
• Satz 2: Differentiation von asymptotischen Entwicklungen
• Satz 3: Integration von asymptotischen Entwicklungen

1.5 Asymptotische Lösung algebraischer und transzendenter Gleichungen

• Die Entwicklungs-Methode
• Beispiel 1: x²+2εx-1=0
• Reguläre und singuläre Störungen, Reskalierung der Gleichung
• Beispiel 2: εx²+2x-1=0
• Auffinden der richtigen Reskalierung
• Beispiel 3: εx²+x-1=0
• systematischer Zugang
• alternative Methode
• Transzendente Gleichungen
• Beispiel 4: x²+e^εx=5
• Gebrochene Exponenten in der Entwicklung
• Beispiel 5: (1-ε)x²-2x+1=0
• Auffinden der richtigen asymptotischen Folge
• Beispiel 6: (1-ε)x²-2x+1=0
• Beispiel 7: x+1+ε sech(x/ε)=0
• Die iterative Methode
• Beispiel 8: (1-ε)x²-2x+1=0

1.6 Einführung in die asymptotische Lösung von Differentialgleichungen

• Reguläre Probleme
• Beispiel 1: Das (skalierte) Projektil-Problem (Fortsetzung)
• Problem: Wahl der asymptotischen Folge legt Lösungsraum fest
• Beispiel 2:
• Beispiel 3: Ein nichtlineares Potential-Problem: Poisson-Boltzmann Gleichung
• sinh-Poisson Gleichung (sinh-Gordon Gleichung), Liouville Gleichung
• Debye-Hückel Theorie der Elektrochemie

1.7 Gleichmäßigkeit

• Beispiel 1: (y-1)(y-x)+εy=0, x∈(0,1)
• Definition 1: gleichmäßig gültige asymptotische Approximation
• Lemma 1: Notwendige Bedingung für gleichm. gültige asympt. Approximation
• Beispiel 2: f(x,ε)=x+e^x/ε, x∈(0,1)
• Satz 1: Hinreiche und Notwendige Kriterien für gleichm. gültige asympt. Approximation
• Definition 2: gleichmäßig gültige asymptotische Entwicklung
• Beispiel 3: f(x,ε)=sin(x/ε)=f(x,ε), x∈(0,1)
• Beispiel 4: εy''+2y'+2y=0, x∈(0,1)

1.8 Symbolisches Rechnen

• MAPLE zum Lösen des (skalierten) Projektil-Problems (Maple Programm)

1.9 Einführung in die asymptotische Approximation von Integralen

• Die Methode der partiellen Integration
• Beispiel 1: Herleitung einer asymptotischen Potenzreihe
• Beispiel 2: I(x)=∫_x^∞e^{-t^4}dt
• Beispiel 3: I(x)=∫₀^xx^-1/2e^-tdt
• Beispiel 4: Versagen der partiellen Integration: I(x)=∫₀^∞e^{-xt^2}dt
• Vor- und Nachteile der partiellen Integration
• Die Approximationsmethode von Laplace
• Beispiel 5: I(x)=∫₀¹⁰e^-xt/(1+t)dt
• Lemma 1: Das Lemma von Watson
• Asymptotische Entwicklung von allgemeinen Laplace-Integralen
• Die Methode der stationären Phase
• Lemma 2: Das Lemma von Riemann-Lebesgue
• Beispiel 6: I(x)=∫₀¹e^ixt/(1+t)dt
• Lemma 3: Das verallgemeinerte Lemma von Riemann-Lebesgue
• Verallgemeinerung: Die Methode des steilsten Abstiegs
• Beispiel 7: 1/Γ(x)=1/2πi ∫_Ce^tt^-x
• Aufteilung des Integrationsbereichs: lokale und globale Beiträge
• Beispiel 8: I(&epsilon)=∫₀¹(x+ε)^-1/2dx
• Beispiel 9: I(&epsilon)=∫₀^π/41/(ε²+sin²θ)dθ

§ 2. Zusammengesetzte asymptotische Entwicklungen

2.1 Einführungsbeispiel

• Beispiel 1: εy''+2y'+2y=0, x∈(0,1) mit y(0)=0 und y(1)=1
1. Äußere Lösung
2. Grenzschicht
• Grenzschichtvariable ("mathematische Lupe")
3. Das `Matching'
4. Die zusammengesetzte Entwicklung
5. Der zweite Term der Entwicklung
6. Diskussion
• Matching mit Hilfe "dazwischenliegender" Variable
• Matching nach van Dyke
• switchbacking
• Beispiel 2: -εu''+u'+u=0, x∈(0,1) mit u(0)=1 und u(1)=0

2.2 Beispiele mit mehreren Grenzschichten

• Beispiel: ε²y''+εxy'-y=-e^x, x∈(0,1) mit y(0)=2 und y(1)=1
• Beispiel 2: εy''+εy'-e^y=-2-x, x∈(0,1) mit y(0)=0 und y(1)=1 (nichtlineares Problem)
• Beispiel 3: ε³y''+x³y'-εy=x³, x∈(0,1) mit y(0)=1 und y(1)=3 (mehrere Grenzschichten an einer Seite)

2.3 Innere Grenzschichten

• Beispiel 1: εy''=yy'-y, x∈(0,1) mit y(0)=1 und y(1)=-1
• Konstantenbestimmung via Symmetrieeigenschaften

2.4 Eck-Grenzschichten

• Beispiel 1: εy''+(x-0.5)y'-y=0, x∈(0,1) mit y(0)=2 und y(1)=3

2.5 Differenzengleichungen

• Diskretes Randwertproblem 2.Ordnung: εy_n+1+α_ny_n+β_ny_n-1=0, n=1,2,...,N-1 mit y₀=a und y_N=b
• Beispiel 1: εy_n+1+2y_n+y_n-1=0, n=1,2,...,N-1 mit y₀=1 und y_N=1
• Verbindung zur numerischen Lösung eines singulär gestörten Randwertproblems

2.6 Numerische Lösung singulär gestörter Probleme

• Schieß-Methode
• Beispiel: y''-100y=0, x∈(0,1) mit y(0)=1 und y(1)=B
• Kollokationsverfahren
• Fortsetzungstechnik
• MATLAB-Routine (bvp4c)
  • Tutorial on solving BVPs with BVP4C (Jacek Kierzenka)
  • MATLAB-Program zur Lösung des Beispiels 2.1
  • MATLAB-Program zur Lösung der Emdenschen Differentialgleichung
• Scilab-Routine (bvode)
• SBVP1.0 (MATLAB Code von Ewa B. Weinmüller)
• Interactive ODE Analyzer in MAPLE dsolve[interactive]();

§ 3. Die Mehrskalenmethode

3.1 Einführungsbeispiel

• Beispiel: y''+εy'+y=0, t>0 mit y(0)=0 und y'(0)=1
• Hintergrund: Masse-Feder-Dämpfung System mit schwacher Dämpfung
1. Reguläre Entwicklung
2. Mehrskalen-Entwicklung
3. Drei Zeitskalen
4. Diskussion und Beobachtungen
• Methode von Lindstedt
• nichtlineare Zeitabhängigkeit
• Beispiel: Ein alternatives Einführungsbeispiel: siehe
  D.A. Edwards An Alternative Example of the Method of Multiple Scales, SIAM Review 42 (2000), 317-332.

3.2 Langsam variierende Koeffizienten

• Beispiel: y''+k²(εt)y=0, t>0 mit y(0)=a und y'(0)=b

3.3 Angeregte Bewegung nahe Resonanz

• Beispiel 1: y''+ελy'+y+εκy³=εcos(1+εω)t, t>0 mit y(0)=0 und y'(0)=0
• Beispiel 2: y''+y=εcos(1+εΩ)t, t>0
• Das Phänomen der Resonanz

3.4 Einführung in die Mehrskalenmethode für partielle Differentialgleichungen

• Beispiel: ∂²_xu=∂²_tu+ε∂_tu, x∈(0,1), t>0
  mit u=0 für x=0,1 und u(x,0)=g(x) und ∂_tu(x,0)=0

3.5 Lineare Wellenausbreitung

• Beispiel: ∂²_xu=∂²_tu+ε∂_tu, x∈(-∞,∞), t>0
  mit u(x,0)=F(x) und ∂_tu(x,0)=0

3.6 Nichtlineare Wellen

• Beispiel 1 (Nichtlineare Wellengleichung): ∂²_xu=∂²_tu+K(x,u,ε), x∈(-∞,∞), t>0
  mit u(x,0)=F(x) und ∂_tu(x,0)=G(x)
  • Beispiel: Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov-Gleichung (KPP-Gleichung, oder auch Fishers-Gleichung)
    Info: Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov-Gleichung (KPP-Gleichung, oder auch Fishers-Gleichung) (Wikipedia)
  • Auswirkungen der Nichtlinearität auf ebene Wellen
• Beispiel 2: (Nichtlineare Diffusionsgleichung): ∂_tu=ε∂²_xu+f(u), x∈(-∞,∞), t>0
  mit u(x,0)=g(x)
  • Beispiel: Nichtlineare Klein Gordon Gleichung
    Info: Klein-Gordon-Gleichung (Wikipedia)
  • Fortschreitende Wellen-Lösungen

3.7 Grenzschichten

• Beispiel: εy''+2y'+2y=0, x∈(0,1) mit y(0)=0 und y(1)=1

3.8 Differenzengleichungen

• Beispiel: y_n+1-2y_n+y_n-1=-2ω²(y_n+εy_n³), n=0,±1,±2,...

§ 4. Die WKB-Approximation und verwandte Methoden

4.1 Einführung

• Beispiel 1:
• Eikonalgleichung (schnelle Skala)
• Transportgleichung (langsame Skala)
• Beispiel 1a:
• Beispiel 1b:
• Zweiter Term der Entwicklung
• Beispiel 1c:
• Diskussion

4.2 Wendepunkte

• Beispiel: ε²y''-q(x)y=0, q hat einfache Nullstelle x_t mit q'(x_t)>0
• Lösung in Übergangsschicht
• Das Matching, Verbindungsformeln
• Beispiel: ε²y''-x(2-x)(x)y=0, x∈(-1,1) mit y(-1)=1 und y(1)=1
• Zusammengesetzte Entwicklung mit Hilfe von Airyfunktionen
• (mehrfache) Wendepunkte höherer oder gebrochener Ordnung

4.3 Die diskrete WKB-Methode

§ 5. Die Methode der Homogenisierung

5.1 Einführungsbeispiel

• Beispiel 1: d/dx(D du/dx)=f(x), x∈(0,1) mit u(0)=a und u(1)=b
• Beispiel 1a: D=D(x,x/ε)=[1+αx+βg(x)cos(x/ε)]^-1
• Mikroskala/Makroskala
• Homogenisierte Differentialgleichung
• Beispiele
• Eigenschaften der Mittelungsprozedur
• Zusammenfassung

5.2 Mehrdimensionale Probleme

• Beispiel 1: ∇⋅(D∇u)=f(x), x∈Ω; u=g(x), x∈∂Ω
• Konsequenzen der Periodizität
• Homogenisierungsprozedur
• Zellenproblem
• Beispiel