Bergische Universität Wuppertal
Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften
Angewandte Mathematik - Numerische Analysis (AMNA)

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Prof. Dr. M. Ehrhardt
Dipl.-Math. A. Schranner

Vorlesung im Wintersemester 2010/2011:

Asymptotische Analysis



Gliederung
 
12.10.2010

§ 1. Einführung in die asymptotischen Approximationen

1.1 Einführung
  • Beispiel 1: Das Projektil-Problem
    • Skalierung der Variablen
    • Entdimensionalisierung
    • Reduziertes Problem
1.2 Satz von Taylor und Regel von l'Hospital
  • Satz 1: Satz von Taylor
    • Beispiel 1: Binomialentwicklung
    • Beispiel 2: Exponentialfunktion
    • Beispiel 3: trigonometrische Funktionen
    • Maclaurin-Reihen (Maple Programm)
  • Satz 2: Regel von l'Hospital
1.3 Ordnungssymbole (Bachmann-Landau-Symbole)
  • Definition 1: groß O
    • Beispiel 1:
  • Definition 2: klein o und das Symbol «
    • Beispiel 2:
  • Definition 3: groß Os
14.10.2010
  • Lemma 1: Alternative Methoden zur Bestimmung der Ordnung
    • Beispiel 3:
  • Definition 4: transcendental small term (TST)
  • Lemma 2: Elementare Eigenschaften der Ordnungssymbole
  • Das Symbol ≈
1.4 Asymptotische Approximationen
  • Beispiel 1:
  • Definition 1: Asymptotische Approximation und das Symbol ∼
    • Beispiel 2:
  • Definition 2: Asymptotische Folge, wohlgeordnet
  • Definition 3: N-Term asymptotische Entwicklung, Skalierungsfunktionen
    • Beispiel 3: Skalierungsfunktionen
19.10.2010
  • Asymptotische Entwicklung explizit gegebener Funktionen
    • Methode mit dem Satz von Taylor
    • Beispiel 4:
    • Methode mit der Regel von l'Hospital
    • Beispiel 5:
  • Beispiel 6: Funktionen können gleiche asymptotische Entwicklungen haben
  • Definition 4: n-Term asymptotisch gleich
  • Genauigkeit und Konvergenz asymptotischer Entwicklungen
    • Beispiel 7: divergente asymptotische Entwicklung: Bessel-Funktion J0(1/ε)
    • Beispiel 8: konvergente Reihe und divergente asymptotische Entwicklung: erf(z)
  • Manipulation von asymptotischen Entwicklungen
    • Satz 1: Multiplikation von asymptotischen Entwicklungen
    • Differentiation von asymptotischen Entwicklungen
      • Beispiel 9: Ableitung von f besitzt keine Entwicklung bzgl. der asymptotischen Folge: f(x,ε)=exp(-x/ε) sin(exp(x/ε))
      • Beispiel 10: Ableitungen von Φ1, Φ2 sind nicht wohlgeordnet: Φ1(x,ε)=1+x, Φ2(x,ε)=ε sin(x/ε)
      • Satz 2: Differentiation von asymptotischen Entwicklungen
    • Satz 3: Integration von asymptotischen Entwicklungen
21.10.2010
1.5 Asymptotische Lösung algebraischer und transzendenter Gleichungen
  • Die Entwicklungs-Methode
    • Beispiel 1: x2+2εx-1=0
  • Reguläre und singuläre Störungen, Reskalierung der Gleichung
    • Beispiel 2: εx2+2x-1=0
  • Auffinden der richtigen Reskalierung
    • Beispiel 3: εx2+x-1=0
    • systematischer Zugang
    • alternative Methode
  • Transzendente Gleichungen
    • Beispiel 4: x2+eεx=5
  • Gebrochene Exponenten in der Entwicklung
    • Beispiel 5: (1-ε)x2-2x+1=0
  • Auffinden der richtigen asymptotischen Folge
    • Beispiel 6: (1-ε)x2-2x+1=0
    • Beispiel 7: x+1+ε sech(x/ε)=0
  • Die iterative Methode
    • Beispiel 8: (1-ε)x2-2x+1=0
26.10.2009
1.6 Einführung in die asymptotische Lösung von Differentialgleichungen
  • Reguläre Probleme
  • Beispiel 1: Das (skalierte) Projektil-Problem (Fortsetzung)
  • Problem: Wahl der asymptotischen Folge legt Lösungsraum fest
    • Beispiel 2:
  • Beispiel 3: Ein nichtlineares Potential-Problem: Poisson-Boltzmann Gleichung
    • sinh-Poisson Gleichung (sinh-Gordon Gleichung), Liouville Gleichung
    • Debye-Hückel Theorie der Elektrochemie
28.10.2010
1.7 Gleichmäßigkeit
  • Beispiel 1: (y-1)(y-x)+εy=0, x∈(0,1)
  • Definition 1: gleichmäßig gültige asymptotische Approximation
  • Lemma 1: Notwendige Bedingung für gleichm. gültige asympt. Approximation
  • Beispiel 2: f(x,ε)=x+ex/ε, x∈(0,1)
  • Satz 1: Hinreiche und Notwendige Kriterien für gleichm. gültige asympt. Approximation
  • Definition 2: gleichmäßig gültige asymptotische Entwicklung
  • Beispiel 3: f(x,ε)=sin(x/ε)=f(x,ε), x∈(0,1)
  • Beispiel 4: εy''+2y'+2y=0, x∈(0,1)
1.8 Symbolisches Rechnen
  • MAPLE zum Lösen des (skalierten) Projektil-Problems (Maple Programm)
2.11.2010
1.9 Einführung in die asymptotische Approximation von Integralen
  • Die Methode der partiellen Integration
    • Beispiel 1: Herleitung einer asymptotischen Potenzreihe
    • Beispiel 2: I(x)=∫xe-t^4dt
    • Beispiel 3: I(x)=∫0xx-1/2e-tdt
    • Beispiel 4: Versagen der partiellen Integration: I(x)=∫0e-xt^2dt
    • Vor- und Nachteile der partiellen Integration
  • Die Approximationsmethode von Laplace
    • Beispiel 5: I(x)=∫010e-xt/(1+t)dt
  • Lemma 1: Das Lemma von Watson
  • Asymptotische Entwicklung von allgemeinen Laplace-Integralen
  • Die Methode der stationären Phase
    • Lemma 2: Das Lemma von Riemann-Lebesgue
    • Beispiel 6: I(x)=∫01eixt/(1+t)dt
    • Lemma 3: Das verallgemeinerte Lemma von Riemann-Lebesgue
  • Verallgemeinerung: Die Methode des steilsten Abstiegs
    • Beispiel 7: 1/Γ(x)=1/2πi ∫Cett-x
  • Aufteilung des Integrationsbereichs: lokale und globale Beiträge
    • Beispiel 8: I(&epsilon)=∫01(x+ε)-1/2dx
    • Beispiel 9: I(&epsilon)=∫0π/41/(ε2+sin2θ)dθ
4.11.2010

§ 2. Zusammengesetzte asymptotische Entwicklungen

2.1 Einführungsbeispiel
  • Beispiel 1: εy''+2y'+2y=0, x∈(0,1) mit y(0)=0 und y(1)=1
    1. Äußere Lösung
    2. Grenzschicht
      • Grenzschichtvariable ("mathematische Lupe")
    3. Das `Matching'
    4. Die zusammengesetzte Entwicklung
    5. Der zweite Term der Entwicklung
    6. Diskussion
  • Matching mit Hilfe "dazwischenliegender" Variable
  • Matching nach van Dyke
  • switchbacking
  • Beispiel 2: -εu''+u'+u=0, x∈(0,1) mit u(0)=1 und u(1)=0
9.11.2010
2.2 Beispiele mit mehreren Grenzschichten
  • Beispiel: ε2y''+εxy'-y=-ex, x∈(0,1) mit y(0)=2 und y(1)=1
  • Beispiel 2: εy''+εy'-ey=-2-x, x∈(0,1) mit y(0)=0 und y(1)=1 (nichtlineares Problem)
  • Beispiel 3: ε3y''+x3y'-εy=x3, x∈(0,1) mit y(0)=1 und y(1)=3 (mehrere Grenzschichten an einer Seite)
2.3 Innere Grenzschichten
  • Beispiel 1: εy''=yy'-y, x∈(0,1) mit y(0)=1 und y(1)=-1
    • Konstantenbestimmung via Symmetrieeigenschaften
11.11.2010
2.4 Eck-Grenzschichten
  • Beispiel 1: εy''+(x-0.5)y'-y=0, x∈(0,1) mit y(0)=2 und y(1)=3
2.5 Differenzengleichungen
  • Diskretes Randwertproblem 2.Ordnung: εyn+1nynnyn-1=0, n=1,2,...,N-1 mit y0=a und yN=b
  • Beispiel 1: εyn+1+2yn+yn-1=0, n=1,2,...,N-1 mit y0=1 und yN=1
  • Verbindung zur numerischen Lösung eines singulär gestörten Randwertproblems
16.11.2010
2.6 Numerische Lösung singulär gestörter Probleme
18.11.2010

§ 3. Die Mehrskalenmethode

3.1 Einführungsbeispiel
  • Beispiel: y''+εy'+y=0, t>0 mit y(0)=0 und y'(0)=1
    • Hintergrund: Masse-Feder-Dämpfung System mit schwacher Dämpfung
    1. Reguläre Entwicklung
    2. Mehrskalen-Entwicklung
    3. Drei Zeitskalen
    4. Diskussion und Beobachtungen
      • Methode von Lindstedt
      • nichtlineare Zeitabhängigkeit
  • Beispiel: Ein alternatives Einführungsbeispiel: siehe
    D.A. Edwards An Alternative Example of the Method of Multiple Scales, SIAM Review 42 (2000), 317-332.
23.11.2010
3.2 Langsam variierende Koeffizienten
  • Beispiel: y''+k2(εt)y=0, t>0 mit y(0)=a und y'(0)=b
3.3 Angeregte Bewegung nahe Resonanz
  • Beispiel 1: y''+ελy'+y+εκy3=εcos(1+εω)t, t>0 mit y(0)=0 und y'(0)=0
    • Beispiel 2: y''+y=εcos(1+εΩ)t, t>0
    • Das Phänomen der Resonanz
25.11.2010
3.4 Einführung in die Mehrskalenmethode für partielle Differentialgleichungen
  • Beispiel:2xu=∂2tu+ε∂tu, x∈(0,1), t>0
    mit u=0 für x=0,1 und u(x,0)=g(x) und ∂tu(x,0)=0
3.5 Lineare Wellenausbreitung
  • Beispiel:2xu=∂2tu+ε∂tu, x∈(-∞,∞), t>0
    mit u(x,0)=F(x) und ∂tu(x,0)=0
3.6 Nichtlineare Wellen
  • Beispiel 1 (Nichtlineare Wellengleichung):2xu=∂2tu+K(x,u,ε), x∈(-∞,∞), t>0
    mit u(x,0)=F(x) und ∂tu(x,0)=G(x)
  • Beispiel 2: (Nichtlineare Diffusionsgleichung):tu=ε∂2xu+f(u), x∈(-∞,∞), t>0
    mit u(x,0)=g(x)
    • Beispiel: Nichtlineare Klein Gordon Gleichung
      Info: Klein-Gordon-Gleichung (Wikipedia)
    • Fortschreitende Wellen-Lösungen
30.11.2010
3.7 Grenzschichten
  • Beispiel: εy''+2y'+2y=0, x∈(0,1) mit y(0)=0 und y(1)=1
3.8 Differenzengleichungen
  • Beispiel: yn+1-2yn+yn-1=-2ω2(yn+εyn3), n=0,±1,±2,...
2.12.2010

§ 4. Die WKB-Approximation und verwandte Methoden

4.1 Einführung
  • Beispiel 1:
    • Eikonalgleichung (schnelle Skala)
    • Transportgleichung (langsame Skala)
    • Beispiel 1a:
    • Beispiel 1b:
    • Zweiter Term der Entwicklung
    • Beispiel 1c:
    • Diskussion
7.12.2010
4.2 Wendepunkte
  • Beispiel: ε2y''-q(x)y=0, q hat einfache Nullstelle xt mit q'(xt)>0
    • Lösung in Übergangsschicht
    • Das Matching, Verbindungsformeln
    • Beispiel: ε2y''-x(2-x)(x)y=0, x∈(-1,1) mit y(-1)=1 und y(1)=1
    • Zusammengesetzte Entwicklung mit Hilfe von Airyfunktionen
    • (mehrfache) Wendepunkte höherer oder gebrochener Ordnung
4.3 Die diskrete WKB-Methode
9.12.2010

§ 5. Die Methode der Homogenisierung

5.1 Einführungsbeispiel
  • Beispiel 1: d/dx(D du/dx)=f(x), x∈(0,1) mit u(0)=a und u(1)=b
    • Beispiel 1a: D=D(x,x/ε)=[1+αx+βg(x)cos(x/ε)]-1
  • Mikroskala/Makroskala
  • Homogenisierte Differentialgleichung
  • Beispiele
  • Eigenschaften der Mittelungsprozedur
  • Zusammenfassung
5.2 Mehrdimensionale Probleme
  • Beispiel 1: ∇⋅(D∇u)=f(x), x∈Ω; u=g(x), x∈∂Ω
  • Konsequenzen der Periodizität
  • Homogenisierungsprozedur
  • Zellenproblem
  • Beispiel


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Department of Mathematics
Applied Mathematics & Numerical Analysis Group

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