§ 1. Einleitung

1.1 Definitionen, Beispiele

• Definition 1: partielle Differentialgleichung
• Beispiel 1: partielle Differentialgleichung 1. Ordnung
• Beispiel 2: Laplace-Gleichung
• Beispiel 3: Wellen-Gleichung
• Beispiel 4: Wärmeleitungsgleichung
• Beispiel 5: Stokes-Gleichungen
• Beispiel 6: Euler-Gleichungen

1.2 Typeneinteilung bei Gleichungen zweiter Ordnung

• Definition 1: elliptisch, hyperbolisch, parabolisch
• Beispiel 1: Laplace-/Wellen-/Wärmeleitungsgleichung
• Definition 2: Typeneinteilung für n unabhängige Variablen

1.3 Typeneinteilung bei Systemen erster Ordnung

• Definition 1: reell-diagonalisierbar
• Definition 2: elliptisch, hyperbolisch
• Beispiel 1: Cauchy-Riemann-Gleichungen
• Beispiel 2: Wärmeleitungsgleichung

§ 2. Elliptische Partielle Differentialgleichungen

2.1 Maximumsprinzip

• Satz 1: Maximumsprinzip
• Satz 1: Abschätzung der Lösung
• Definition 2: elliptic / uniformly elliptic

2.2 Finite Differenzen Methode

• Laplaceoperator auf Einheitsquadrat
• Laplaceoperator auf allgemeinen Gebiet
• Diskretisierung von allgemeinen Differentialoperatoren

• Konsistenz, Stabilität und Konvergenz

2.3 Sobolev-Räume und Variationsformulierung

2.4 Finite Elemente Methoden

• Triangulierungen

§ 3. Parabolische Partielle Differentialgleichungen

3.1 Anfangsrandwertprobleme

• Methode der Separation der Variablen

3.2 Finite Differenzen Methoden

3.3 Stabilitätsanalysis

3.4 Semidiskretisierung

• Rothe Methode

§ 4. Hyperbolische Gleichungen zweiter Ordnung

4.1 Die Wellengleichung

4.2 Finite Differenzen Methode

4.3 Die Charakteristikenmethode

§ 5. Hyperbolische Systeme erster Ordnung

5.1 Systeme von zwei Gleichungen

5.2 Erhaltungsgesetze

• Characteristic curves

5.3 Numerische Methoden für lineare Systeme

• 1-stufige Differenzenverfahren
• globaler Fehler
• Konvergenz
• Konsistenz

• Stabilität
• CFL Bedingung
• Berechnung schwacher Lösungen

5.4 Konservative Methoden für nichtlineare Systeme