Numerische Lösung von PDGln auf unbeschränkten Gebieten

(Forschungsvorhaben der Nachwuchsgruppe Applied Analysis)

(English Version)

Stand der Forschung

Bei der numerischen Berechnung der Lösung einer partiellen Differentialgleichung (PDGl) auf einem unbeschränkten Gebiet werden gewöhnlich künstliche Ränder eingeführt, um das Rechengebiet zu beschränken. Spezielle Randbedingungen werden an diesen künstlichen Rändern hergeleitet, um die exakte Ganzraumlösung zu approximieren. Falls die Lösung des Problems auf dem beschränkten Gebiet mit der Ganzraumlösung (eingeschränkt auf das Rechengebiet) identisch ist, werden diese Randbedingungen als transparente Randbedingungen (TRBen) bezeichnet. Einige Übersichtsartikel über Berechnung von Lösungen auf unbeschränkten Gebieten findet man hier. Die TRBen werden auch erfolgreich bei der optimalen Steuerung bei der Lösung von inversen Problemen angewendet [MeHe].

Bisher wurden transparente Randbedingungen für Konvektions-Diffusionsgleichungen und allgemeine Pseudodifferentialgleichungen vom Schrödingertyp hergeleitet [ArEh], [Ehr]. Diese sog. Parabolischen Gleichungen finden weit verbreitete Anwendung bei 1-Weg-Wellenausbreitungsproblemen in vielen Bereichen, z.B. (Unterwasser-)Akustik, Seismologie, integrierte Optik und Plasmaphysik. Als Spezialfall ist die Schrödinger Gleichung der Quantenmechanik enthalten.

Existierende Diskretisierungen dieser TRB führen zu numerischen Reflektionen an den künstlichen Rändern und zerstören häufig die Stabilität der zugrundeliegenden Finite Differenzen Methode. Diese Probleme treten nicht auf, wenn eine sog. diskrete TRB verwendet wird, die direkt vom diskretisierten Ganzraumproblem hergeleitet wird. Diese diskrete TRB ist reflektionsfrei und erhält die Stabilitätseigenschaften des Ganzraumschemas. Wir betonen, dass die Überlegenheit von diskreten TRBen gegenüber diskretisierten analytischen TRBen nicht auf die betrachteten Typen von PDGln oder speziellen inneren Diskretisierungschemata beschränkt ist. Unsere Strategien wurden bereits von einer Arbeitsgruppe in Princeton auf Systeme von Wellengleichungen für Materialien mit Sprüngen [WEHu] verwendet. Unser Ansatz wurde ebenfalls in [Moy1], [Moy2] für ein Numerov-Schema zur Lösung der 1D Schrödinger Gleichung und in [Mik] für eine Gleichung der (Unterwasser)-Akustik benutzt. Siehe auch Abschnitt 2.3 in [CRS].

Ein weiteres Problem stellt der numerische Aufwand dar: da die diskrete TRB eine Faltung in der Zeit beinhaltet, wird die Auswertung speziell für Langzeitsimulationen sehr aufwändig. Als Ausweg wurden approximative diskrete TRBen hergeleitet, deren Faltungskern eine endliche Summe von Potenzen ist. Dieser Kern kann mit einer einfachen Dreiterm-Rekursion ausgewertet werden, so dass die Ordnung des Gesamtaufwandes des numerischen Schemas durch die Randbedingungen nicht mehr erhöht wird. Auf dem kontinuierlichen Niveau ist der Ansatz verwandt mit [AGH], [GrKe] und [Sof]. Für das resultierende Anfangswertproblem wurde die Stabilität bewiesen und Fehlerabschätzungen hergeleitet [AES]. Numerische Tests haben die Effizienz dieser Methode untermauert.

Parallel hierzu wurde der Ansatz zur Herleitung der diskreten TRBen für parabolische Systeme und Systeme von Schrödinger Gleichungen von A. Zisowsky erweitert. Gerade bei diesen numerisch enorm aufwändigen RBen zahlt sich der obige Approximationsansatz aus [Zis].

In Kooperation mit J. Soler und E. Ruiz Arriola wurden für das unitäre und unbedingt stabile Crank-Nicolson Finite Differenzen Schema zur Lösung des Schrödinger-Poisson Systems in radialen Koordinaten diskrete TRBen verwendet, um damit die numerische Langzeitsimulation der Ganzraumevolution im sphärisch symmetrischen Fall zu verbessern. Speziell wurde dabei das asymptotische Verhalten in der Zeit für Lösungen im attraktiven Fall mit positiver Energie untersucht. Mehrere numerische Tests bestätigten die Gültigkeit einer Dispersionsgleichung, die die Dichte und das 1.Moment relativiert.

Arbeitsprogramm

In diesem Projekt soll der oben beschriebene Ansatz für Gleichungen vom Schrödingertyp ausgebaut werden. Dabei sollen die diskreten TRBen für weitere neuartige Verfahren (wie z.B. ein Prädiktor-Korrektor Schema, das konservativ für die Masse und die Energie ist), ortsabhängige Potentiale und für den Fall, dass der Träger der Anfangsdaten nicht im Rechengebiet enthalten ist, hergeleitet und jeweils das resultierende Schema hinsichtlich der Stabilität untersucht und eine Fehleranalyse durchgeführt werden. Die erhaltenen Resultate sollen mit den der alternativen Ansätze (z.B. die Pol-Bedingung) von F. Schmidt [Sch] und Antoine und Besse [AnBe] verglichen werden. Diese Vergleichsstudie ist eine Zusammenarbeit mit den Mitgliedern des Projekts D9. Als konkrete Anwendung in der Nanotechnologie werden mit A. Arnold und Th. Koprucki Lösungen des ``double-barrier stepped-quantum-well'' (Tunnel-Struktur) numerisch berechnet. Hierzu werden spezielle Systeme von Schrödinger Gleichungen [BKKR] (Kohn-Luttinger Modell des Valenzbandes) betrachtet und diskrete TRBen für Systeme von Schrödinger Gleichungen aus [Zis] verwendet ( Details). Als zweite Anwendung und um die Effizienz der approximativen diskreten TRBen zu zeigen, wird in Zusammenarbeit mit A. Arnold und O. Vanbésien das transiente Verhalten von Quantenwellenleitern (``multi-channel quantum waveguides'') in 2D simuliert.

Eng verbunden mit der Herleitung von transparenten Randbedingungen für verschiedene Gleichungen ist die Analyse von Anfangsrandwertproblemen, die bei der Koppelung verschiedener Modelle entstehen. Anwendungen für (diskrete) hybride Wellengleichungsmodelle findet man z.B. in der Unterwasserakustik, wo man ein fluides Modell im Wasser mit einem elastischen Modell im Boden koppeln möchte. In [ArEh] wurde bereits die Koppelung zu verschiedenen ``parabolischen'' Gleichungen im Boden analysiert. Mit M. Baro und H.-C. Kaiser von Projekt D4 sollen (diskrete) Anfangsrandwertprobleme, die von einer Quanten-Drift-Diffusion Gleichung herrühren, hinsichtlich ihrer sachgemäßen Gestelltheit bzw. Stabilität analysiert werden. Es soll ferner untersucht werden, inwiefern TRBen hier zur Anwendung kommen können (Schaltkreise: Koppelung zur Schrödinger Gleichung).

Als dritten Schwerpunkt sollen diskrete TRBen für hyperbolische Gleichungen entwickelt werden. Zunächst wird in Kooperation mit A. Arnold der Ansatz aus [Arn], [Ehr] auf die Wellengleichung in 2D übertragen und das resultierende Anfangsrandwertproblem auf sachgemäße Gestelltheit bzw. Stabilität untersucht. Die numerischen Resultate sollen insbesondere hinsichtlich der Effizienz mit denen von Alpert, Greengard und Hagstrom, [AGH] verglichen werden. Anschließend wird in einer zweiten Stufe der in [Zis] entworfene Ansatz für diskrete TRBen für hyperbolische Systeme angewendet und analysiert. Hierbei soll auch die (diskrete) Koppelung verschiedener hyperbolischer Systeme untersucht werden. Die numerischen Resultate bei Anwendung auf die linearisierten Eulergleichungen sollen mit denen von Rowley und Colonius [RoCo] verglichen werden. Konkrete Anwendung werden diese diskreten TRBen in der Simulation von Quantenbauteilen finden, in denen man klassische Regionen hat, die man durch hydrodynamische Modelle beschreiben kann. Hierbei werden wir sowohl das klassische Baccarani-Wordeman-Modell (wie es in industriellen Codes eingesetzt wird), wie auch weiterentwickelte hydrodynamische Modelle für Halbleiter betrachten.

Um die breite Anwendbarkeit unseres Ansatzes zu unterstreichen werden wir effiziente diskrete künstliche Randbedingungen für die Black-Scholes Gleichung zur Bewertung von Amerikanischen Optionen [EhMi2]. Hierbei stehen wir in Kontakt mit dem Projekt E6.

Zur Gewinnung von wissenschaftlichen Nachwuchs wird für das Wintersemester 2003/04 (nach der Vorlesung Numerik partieller Differentialgleichungen im Sommersemester 03) die Vorlesung Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen angeboten, an die sich ein Seminar Partielle Differentialgleichungen in der Angewandten Mathematik anschließt. Im Wintersemester 2004/05 wird die Vorlesung und Übung Asymptotische Analysis gelesen, an die sich im Sommersemester 2005 eine Spezialvorlesung Modellierung, Analysis und Numerik in der Halbleiter-Technologie anschliessen wird.

Software

Unser Ansatz wurde von C.A. Moyer in der QMTools Software-Paket für quantenmechanische Anwendungen implementiert (cf. [Moy1]).

Referenzen

[AGH]	B.K. Alpert, L. Greengard und T. Hagstrom,
	Rapid evaluation of nonreflecting boundary kernels for time-domain wave propagation, SIAM J. Numer. Anal. 37 (2000), 1138-1164.
[AMRe]	I. Alonso-Mallo und N. Reguera,
	Weak ill-posedness of spatial discretizations of absorbing boundary conditions for Schrödinger-type equations, SIAM J. Numer. Anal. 40 (2002), 134-158.
[AnBe]	X. Antoine und C. Besse,
	Unconditionally stable discretization schemes of non-reflecting boundary conditions for the one-dimensional Schrödinger equation, J. Comp. Phys. 188 (2003), 157-175.
[ABM]	X. Antoine, C. Besse, und V. Mouysset,
	Numerical schemes for the simulation of the two-dimensional Schrödinger equation using non-reflecting boundary conditions, Math. Comp. 73 (2004), 1779-1799.
[ApKr]	D. Appelö und G. Kreiss,
	Stabilized local nonreflecting boundary conditions for high order centered schemes for the wave equation, Technical report, NADA, Royal Institute of Technology, Sweden, 2003.
[Arn]	A. Arnold,
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[ArSc07]	A. Arnold und M. Schulte,
	Transparent boundary conditions for quantum-waveguide simulations, to appear in Mathematics and Computers in Simulation (2007), Proceedings of MATHMOD 2006, Vienna, Austria.
[ArSc08]	A. Arnold und M. Schulte,
	Discrete transparent boundary conditions for the Schrödinger equation - a compact higher order scheme, erscheint in Kinetic and Related Models 1, 2008.
[BKKR]	U. Bandelow, H.-C. Kaiser, Th. Koprucki und J. Rehberg,
	Spectral properties of k-p Schrödinger operators in one space dimension, Numer. Funct. Anal. Optimization 21 (2000), 379-409.
[CRS]	N. Carjan, M. Rizea und D. Strottman,
	Improved boundary conditions for the decay of low lying metastable proton states in a time-dependent approach, Comput. Phys. Commun. 173 (2005), 41-60.
[DuZl]	B. Ducomet und A. Zlotnik,
	On stability of the Crank-Nicolson scheme with approximate transparent boundary conditions for the Schrödinger equation. Part I, Commun. Math. Sci. 4 (2006), 741-766.
[WEHu]	W. E und Z. Huang
	A dynamic atomistic-continuum method for the simulation of crystalline materials, J. Comp. Phys. 182 (2002), 234-261.
[Ehr]	M. Ehrhardt,
	Discrete Artificial Boundary Conditions, Ph.D. Thesis, Technische Universität Berlin, 2001.
[EhAr]	M. Ehrhardt und A. Arnold,
	Discrete Transparent Boundary Conditions for the Schrödinger Equation, Rivista di Mathematica della Universita di Parma, Volume 6, Number 4 (2001), 57-108.
[Gal]	H. Galicher,
	Transparent Boundary Conditions for the one-dimensional Schrödinger Equation with periodic potential at infinity, eingereicht bei: Commun. Math. Sci, 2007.
[GrKe]	M.J. Grote und J.B. Keller,
	Exact nonreflecting boundary conditions for the time dependent wave equation, SIAM J. Appl. Math. 55 (1995), 280-297.
[JiGr]	S. Jiang und L. Greengard,
	Fast evaluation of nonreflecting boundary conditions for the Schrödinger equation in one dimension, Comp. Math. Appl. 47 (2004), 955-966.
[MeHe]	M. Meyer and J.P. Hermand,
	Optimal nonlocal boundary control of the wide-angle parabolic equation for inversion of a waveguide acoustic field, J. Acous. Soc. Am. 117 (2005), 2937-2948.
[Mik]	D. Mikhin,
	Exact discrete nonlocal boundary conditions for high-order Padé parabolic equations, J. Acous. Soc. Am. 116 (2004), 2864-2875.
[Moy1]	C.A. Moyer,
	Numerov Extension of Transparent Boundary Conditions for the Schrödinger Equation in One Dimension, Amer. J. Phys. 72 (2004), 351-358.
[Moy2]	C.A. Moyer,
	Numerical solution of the stationary state Schrödinger Equation using discrete transparent boundary conditions, Computing in Science & Engineering 8 (2006), 32 - 40.
[RoCo]	C.W. Rowley und T. Colonius,
	Discretely nonreflecting boundary conditions for linear hyperbolic systems, J. Comp. Phys. 145 (2000), 500-538.
[RSSZ]	D. Ruprecht, A. Schädle, F. Schmidt und L. Zschiedrich,
	Transparent boundary conditions for time-dependent problems, ZIB-Report 07-12, ZIB Berlin, Mai 2007.
[Sch]	F. Schmidt,
	A New Approach to Coupled Interior-Exterior Helmholtz-Type Problems: Theory and Algorithms, Habilitation, Freie Universität Berlin, 2002.
[Schu]	M. Schulte,
	Transparente Randbedingungen für die Schrödinger-Gleichung, Diplomarbeit, Universität Münster, März 2004.
[Sch07]	M. Schulte,
	Numerical Solution of the Schrödinger Equation on unbounded Domains, Dissertation, Universität Münster, 2007.
[Sof]	I. Sofronov,
	Conditions for Complete Transparency on the Sphere for the Three-Dimensional Wave Equation Fast calculation, approximation, and stability, Russian Acad. Sci. Dokl. Math. 46 (1993), 397-401.

Publikationen dieses Projektes

[DTBC]	X. Antoine, A. Arnold, C. Besse, M. Ehrhardt und A. Schädle,
	A Review of Transparent and Artificial Boundary Conditions Techniques for Linear and Nonlinear Schrödinger Equations, Commun. Comput. Phys. 4 (2008), 729-796. (open-access article) Es existiert ein Matlab GUI für numerische Experimente
[AES]	A. Arnold, M. Ehrhardt und I. Sofronov,
	Discrete Transparent Boundary Conditions for the Schrödinger Equation: Fast calculation, approximation, and stability, Comm. Math. Sci. 1 (2003), 501-556.
[AES:P]	A. Arnold, M. Ehrhardt und I. Sofronov,
	Approximation and fast calculation of non-local boundary conditions for the time-dependent Schrödinger equation, ( PDF-Format), Proceedings of the 15th International Conference on Domain Decomposition Methods, July 21-25, 2003, Berlin, Germany, pp. 141-148.
[AESS]	A. Arnold, M. Ehrhardt, M. Schulte und I. Sofronov,
	Discrete Transparent Boundary Conditions for the two-dimensional Schrödinger equation, ( PDF-Format), Matheon-Preprint Nr. 332, Mai 2006.
[DaEh]	Dang Quang A und M. Ehrhardt,
	Adequate Numerical Solution of Air Pollution problems by Positive Difference schemes on unbounded domains, ( PDF-Format), Math. Comput. Modelling 44 (2006), 834-856.
[Ehr1]	M. Ehrhardt,
	Finite Difference Schemes on unbounded Domains, ( PDF-Format), Kapitel 8 in: R.E. Mickens (ed.), Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes, Band 2, World Scientific, 2005, Seiten 343-384.
[Ehr2]	M. Ehrhardt,
	Discrete Transparent Boundary Conditions for Schrödinger-type equations for non-compactly supported initial data, ( PDF-Format), Appl. Numer. Math., Vol. 58, Issue 5, (2008), 660-673.
[EhAr:P]	M. Ehrhardt und A. Arnold,
	Discrete Transparent Boundary Conditions for Wide Angle Parabolic Equations: Fast Calculation and Approximation, ( PDF-Format), Proceedings of the Seventh European Conference on Underwater Acoustics, July 3-8, 2004, Delft, The Netherlands, pp. 9-14.
[EhMi1]	M. Ehrhardt und R.E. Mickens,
	Solutions to the Discrete Airy Equation: Application to Parabolic Equation Calculations , ( PDF-Format), J. Comput. Appl. Math. 172 (2004), 183-206.
[EhMi2]	M. Ehrhardt und R.E. Mickens,
	A fast, stable and accurate numerical method for the Black-Scholes equation of American options, ( PDF-Format), Int. J. Theoret. Appl. Finance 11 (2008), 471-501.
[EhZh]	M. Ehrhardt und C. Zheng,
	Exact artificial boundary conditions for problems with periodic structures J. Comput. Phys. Vol. 227, Issue 14, (2008), 6877-6894.
[EHZ]	M. Ehrhardt, H. Han and C. Zheng,
	Numerical simulation of waves in periodic structures, Commun. Comput. Phys. Vol. 5, Number 5, (2009), 849-872.
[EhZi1]	M. Ehrhardt und A. Zisowsky,
	Fast Calculation of Energy and Mass preserving solutions of Schrödinger-Poisson systems on unbounded domains, ( PDF-Format), J. Comput. Appl. Math. 187 (2006), 1-28.
[EhZi2]	M. Ehrhardt und A. Zisowsky,
	Discrete non-local boundary conditions for Split-Step Padé Approximations of the One-Way Helmholtz Equation, ( PDF-Format), J. Comput. Appl. Math. 200 (2007), 471-490.
[EhZi:P]	M. Ehrhardt und A. Zisowsky,
	Nonlocal Boundary Conditions for Higher-Order Parabolic Equations, ( PDF-Format), Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM), Vol. 6, Issue 1 (2006), 733--734 (Special Issue: GAMM Annual Meeting 2006).
[Hok06]	K. Hoke,
	Diskrete transparente Randbedingungen für hyperbolische Systeme, Diplomarbeit, September 2006 präsentiert bei der Studenten-Konferenz Dies Mathematicus, TU Berlin, 27.Oktober 2006.
[SuEh07]	L. Šumichrast und M. Ehrhardt,
	On the three formulations of transparent boundaries for the beam propagation method, Proceedings of AMTEE 2007 - Advanced Methods of the Theory of Electrical Engineering (Applied to Power Systems), Pilsen, Czech Republic, September, 10-12, 2007.
[Zis]	A. Zisowsky,
	Discrete Transparent Boundary Conditions for Systems of Evolution Equations (pdf), (abstract), Ph.D. Thesis, Technische Universität Berlin, Juli 2003.
[ZAEK1]	A. Zisowsky, A. Arnold, M. Ehrhardt und Th. Koprucki,
	Discrete Transparent Boundary Conditions for Time-Dependent Systems of Schrödinger Equations, ( PDF-Format), Matheon-Preprint Nr. 104, März 2004.
[ZAEK2]	A. Zisowsky, A. Arnold, M. Ehrhardt und Th. Koprucki,
	Discrete Transparent Boundary Conditions for Time-Dependent Systems of Schrödinger Equations with Application to Quantum-Heterostructures, ( PDF-Format), Journal of Applied Mathematics and Mechanics (ZAMM), Vol. 85, No. 11, (2005), 793-805.
[ZiEh]	A. Zisowsky und M. Ehrhardt,
	Discrete Transparent Boundary Conditions for Parabolic Systems, ( PDF-Format), Math. Comput. Modelling 43 (2006), 294-309.

Gäste

July 13-14, 2003	A. Arnold, Institute for Analysis and Scientific Computing Technische Universität Wien, Austria.
May 9-31, 2004	I. Sofronov, Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow, Russia
May 9-11, 2004	A. Arnold, Institute for Analysis and Scientific Computing Technische Universität Wien, Austria.
January 26- February 7, 2005	Eli Turkel, Department of Applied Mathematics at School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University, Israel.
June 22- July 14, 2005	Dang Quang A, Department of Mathematical Methods for Information Technology Institute of Information Technology, Hanoi, Vietnam.
September 24 - October 9, 2005	I. Sofronov, Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow, Russia
February 12 - March 26, 2006	M. Schulte, Universität Münster, Germany.
March 23 - 31, 2006	I. Sofronov, Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow, Russia

Links

	Tom Hagstrom's Radiation Boundary Condition Page
	Numerical Methods for Wave Propagation on Unbounded Domains, Mini-Symposia at 1996 SIAM Annual Meeting Kansas City, Missouri July 22 -- 26, 1996
	Domain Decomposition Methods for Wave Propagation in Unbounded Media, Minisymposium at the 15th International Conference on Domain Decomposition Methods, July 21 - 25, FU Berlin, Germany.
	6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics, Zürich, Switzerland, July 16-20, 2007. Minisymposium Artificial Boundary Conditions for linear and nonlinear Schrödinger equations

ehrhardt@math.tu-berlin.de