Level-Set-Methoden (auch: Niveaumengenmethoden) und Fast Marching Methoden sind mathematische Verfahren zur numerischen Berechnung der Bewegung von geometrischen Objekten. Sie finden ihre Anwendung in Physik (Kristallwachstum, Phasenübergänge), Chemie,  fluider Mechanik, Bildbearbeitung, Computer Vision, Computergrafik, Robotik, kürzeste Wege Algorithmen, Kollisionsverhinderung von Flugzeugen, Objekterkennung- und Tracking in der Automobilindustrie, Fabrikation von mikroelektronischen Bauelementen, Seismologie und Medizin.
Einige Beispiele/Anwendungen aus dem Seminar, sowie interaktive Applets finden Sie hier

Die Level-Set-Methode hat den Vorteil, dass Kurven und Oberflächen in einem festen Koordinatensystem berechnet werden können, ohne eine Parametrisierung dieser Objekte zu benutzen. Diese flexible Behandlung der Geometrie erlaubt die Verfolgung von Rändern beweglicher Objekte und sogar einfache Topologiewechsel.

Im zweiten Teil des Seminars werden wir auf auf eine mögliche Anwendungen in der medizinischen Bildverarbeitung eingehen. In diesem Bereich besteht eine Kooperation mit der Computer Vision Gruppe (Informatik, TU Berlin) und dem Herz-Zentrum Berlin. Wir werden neuartige Level-Set Methoden zur Bildsegmentieren von MR-Bildern zum Erkennen von sog. Plaque-Ablagerungen in Blutadern präsentieren. Die Validation dieser neuen Methoden geschieht mithilfe der Ärzte vom Herz-Zentrum. Weiterhin entwerfen wir Level-Set Methoden zur Bild-Segmentation bei Ratten-Herzen, was zu einer automatischen Bestimmung von Durchflussmengen von Blut beim menschlichen Herzen anhand der MR-Bilder führen soll.

Die Einteilung der Gruppen erfolgt auf Grund der Kenntnisse, Interessen und Möglichkeiten der TeilnehmerInnen. Die Zusammensetzung der Gruppen erfolgt unter dem Gesichtspunkt der Komplementarität. Analytisch besonders Interessierte sollen mit numerisch Versierten und Computercracks zusammenarbeiten. Im Idealfall wird jeder Vortrag von einem anderen Gruppenmitglied gehalten. Dabei kommt jedem/jeder TeilnehmerIn in unterschiedlichen Phasen des Seminars eine Führungsrolle zu.

Als Themen sind zur Bearbeitung vorgesehen:

  Theorie der Kurven und Oberflächenentwicklung
  Viskositätslösungen und die Hamilton-Jacobi Gleichungen
  Herkömmliche numerische Verfahren zur Beschreibung bewegter Kurven/Flächen
  Algorithmen zur Grenzflächenentwicklung
  Die Narrow Band Level Set Methode
  Fast Marching Methoden
  Anwendungen in der Geometrie
  Bildsegmentierung mit Level-Sets und aktiven Konturen (Snakes)

Scheinkriterium:

  Präsentation

• Erläuterung des Anwendungsproblems
• Mathematische Modellierung (evtl. mehrstufig)
• Lösung / Analyse / Numerik
• Diskussion der Resultate und ihrer Relevanz für die Anwendung
• Für die Präsentation wird Prosper bzw. HA-Prosper oder PPower4 empfohlen
  ( Verschiedene Präsentationsprogramme)
• Evtl. numerische Simulationen (möglichst in Matlab, Scilab oder Octave)
  Schriftliche Ausarbeitung (ca. 10 Seiten, inkl. Beispiele)
  Regelmässige Teilnahme am Seminar

Vorkenntnisse:
Basiswissen mathematischer Grundvorlesungen wird vorausgesetzt.
Wünschenswert ist eine erfolgreiche Teilnahme an Lehrveranstaltungen der praktischen und numerischen Mathematik sowie einige Programmiererfahrung.

Literatur:

• Sethian, J.A.: Level set methods and fast marching methods.
  Evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science.
  Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. 3. Cambridge: Cambridge University Press. (1999).
• Eine kurze anschauliche Einführung zusammen mit einem populärwissenschaftlichen Artikel in der Zeitschrift American Scientist
• O. Gloger, M. Ehrhardt, O. Hellwich; E. Nagel: A three stepped coordinated Level Set Segmentation Method for Identifying atherosclerotic plaques on MR-images,
  Preprint Nr. 33-2007 des Instituts für Mathematik, TU Berlin, September 2007.
  eingereicht bei: Communications in Numerical Methods in Engineering, (Special Issue on Recent Advances in Computational Techniques for Biomedical Imaging)
  • Bilder
• Osher, S.; Sethian, J.A.: Fronts propagating with Curvature Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton-Jacobi-Formulation.
  J. Comput. Phys. 79, 12-49 (1988)
• Burger, M.; Osher, S.: A survey on level set methods for inverse problems and optimal design.
  Europ. J. Appl. Math. 16, 263-301 (2005)
• S. Osher; R.P. Fedkiw: Level Set Methods: An Overview and Some Recent Results.
  IPAM GBM Tutorials, March 27 - April 6, 2001.
• S.Osher; R.P. Fedkiw: Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces.
  Springer (2002).
• Zhao, H.-K., Chan, T., Merriman, B., S. Osher: A variational level set approach to multiphase motion.
  J. Comput. Phys. 127, 179-195 (1996).
• Litman, A., Lesselier, D., Santosa, F.: Reconstruction of a two-dimensional binary obstacle by controlled evolution of a level-set.
  Inverse Problems 14, 685-706 (1998).

• Sumengen, B., A Matlab toolbox implementing Level Set Methods
• Mitchell, I., A Matlab Toolbox of Level Set Methods
• Peyré, G., A Matlab toolbox for the computation of the Fast Marching algorithm both in 2D and 3D.
• Mallet, V., Multivac - C++ Level set code
• ITK - Insight Segmentation and Registration Toolkit vom The visible Human Projekt,
  Levelset-Implementierungen werden im Handbuch Kapitel 9.3 beschrieben.

Didaktische Vortragstipps:
Wie halte ich einen Seminarvortrag (M.Lehn, Mainz)
Artikel 1, Artikel 2, Artikel 3

ehrhardt@wias-berlin.de