§ 1. Einleitung / Beispiele

• Bewegung von Elektronen in einem Halbleiter
• Flüssigkeit in einem porösen Medium
• Reaktion von Chemikalien
• Oberflächenwellen in Wasser
  • Korteweg-de-Vries (KdV) Gleichung, Solitonen
• Geometrische Optik
  • Eikonalgleichung, Kaustik
• Hamilton-Mechanik
  • Hamilton-Jacobi-Gleichung, Newtonsche Bewegungsgleichungen, Lagrangefunktion
• Minimalflächen
  • Isoperimetrisches Problem (Problem der Dido)

§ 2. Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung

2.1 Vollständige Integrale, Hüllkurven

• Definition 1: Vollständiges Integral
• Beispiel 1: Clairautsche Gleichung
• Beispiel 2: Eikonalgleichung der geometrischen Optik
• Beispiel 3: Hamilton-Jacobi-Gleichung
• Definition 1: Vollständiges Integral
• Definition 2: Hüllkurve einer Funktion / singuläres Integral
• Satz 1:
• Beispiel 4:
• Definition 1: Allgemeines Integral
• Beispiel 5:
• Beispiel 6:

2.2 Charakteristiken

• 2.2.1 Herleitung der charakteristischen DGL für eine nichtlineare PDGL 1. Ordnung
  • Satz 1:
• 2.2.2 Beispiele
  • Beispiel 1: F linear
  • Beispiel 2: F quasilinear
  • Beispiel 3: F nichtlinear
• 2.2.3 Randbedingungen
  • 'Abflachen' des Randes
  • Kompatibilitätsbedingungen an die Randdaten
  • Nichtcharakteristische Randdaten
  • Lemma 1:
• 2.2.4 Lokale Lösung
  • Lemma 2: lokale Invertierbarkeit
  • Satz 2: lokale Existenz
• 2.2.5 Anwendungen
  • Beispiel 1: F linear
  • Beispiel 2: F quasilinear
  • Beispiel 3: F nichtlinear

2.3 Einführung in Hamilton-Jacobi Gleichungen

2.4 Einführung in Erhaltungsgesetze

§ 3. Nichtlineare elliptische Gleichungen

3.1 Die monotone Operator-Methode

• Definition 1: (streng) monotones Vektorfeld
• Lemma 1:
• Satz 1:
• Definition 2: schwache Konvergenz
• Satz 2: schwache Kompaktheit, Satz von Alaoglu
• Satz 3:
• Satz 4:
• Satz 5:

3.2 Das Vergleichsprinzip für quasilineare Differentialoperatoren

• Satz 1: Vergleichsprinzip für klassische Lösungen
• Korollar 1: Eindeutigkeit von klassischen Lösungen des Dirichlet-Problems
• Definition 1: (obere/untere) Lösung
• Korollar 2: klassische obere/untere Lösungen des Dirichlet-Problems
• Definition 2: schwache (obere/untere) Lösung
• Satz 2: Vergleichsprinzip für schwache Lösungen

3.3 Fixpunktmethoden

• Satz 1: Fixpunktsatz von Banach für streng kontraktive Abbildungen
• Satz 2: Fixpunktsatz von Schauder für kompakte Abbildungen
• Typische Anwendungsstrategie des Fixpunktsatzes von Schauder
• Satz 3: Fixpunktsatz von Schaefer/Leray-Schauder für kompakte Abbildungen
• Beispiel 1:

3.4 Nichtlineare Variationsprobleme

• 3.4.1Euler-Lagrange Gleichungen
  • Beispiel 1:
  • Beispiel 2:
  • Beispiel 3:
  • Beispiel 4:
• 3.4.2 Existenz von Minimierern
  • Definition 1: Sobolev Räume W^k,p(Ω)
  • Lemma 1: Poincaré-Ungleichung
  • Definition 1: unterhalb stetig, schwach (folgen)stetig, schwach (folgen)unterhalbstetig
  • Beispiel 1:
  • Beispiel 2:
  • Beispiel 3:
  • direkte Methode der Variationsrechnung
  • Strategie für Existenz eines Minimierers
  • Satz 1: Satz von Tonelli
  • Satz 2: Existenz von Minimierern
  • Satz 3: Eindeutigkeit des Minimierers
• 3.4.3 Das Minimalflächenproblem
  • Satz 1:
• 3.4.4 Schwache Lösungen der Euler-Lagrange-Gleichung
  • Definition 1: schwache Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung
  • Satz 1:
  • Satz 2:

3.5 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen

§ 4. Nichtlineare parabolische Gleichungen

4.1 H^-1 und parabolische Sobolev Räume

4.2 Schwache Formulierungen

4.3 Reaktions-Diffusionsgleichungen

4.4 Quasilineare parabolische Gleichungen

4.5 Die poröse Medium Gleichung

§ 5. Nichtlineare Wellengleichungen

5.1 Wellengleichungen als Hamilton'sche Systeme

5.2 Abschätzungen und Erhaltungsgrössen

5.3 Globale Lösungen von NLS, NLW

5.4 Explosion von Lösungen

5.5 Stabilität von Solitonen

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