§ 1. Einleitung

1.1 Definitionen, Beispiele

• Definition 1: partielle Differentialgleichung
• Beispiel 1: partielle Differentialgleichung 1. Ordnung
• Beispiel 2: Laplace-Gleichung
• Beispiel 3: Wellen-Gleichung
• Beispiel 4: Wärmeleitungsgleichung
• Beispiel 5: Stokes-Gleichungen
• Beispiel 6: Euler-Gleichungen

1.2 Typeneinteilung bei Gleichungen zweiter Ordnung

• Definition 1: elliptisch, hyperbolisch, parabolisch
• Beispiel 1: Laplace-/Wellen-/Wärmeleitungsgleichung
• Definition 2: Typeneinteilung für n unabhängige Variablen

1.3 Typeneinteilung bei Systemen erster Ordnung

• Definition 1: reell-diagonalisierbar
• Definition 2: elliptisch, hyperbolisch
• Beispiel 1: Cauchy-Riemann-Gleichungen
• Beispiel 2: Wärmeleitungsgleichung

§ 2. Differenzenverfahren für parabolische Differentialgleichungen

2.1 Mathematische Modelle

• Beispiel 1: Wärmeleitung
• Beispiel 2: Diffusion

2.2 Klassische und schwache Lösungen

• Definition 1: klassische Lösung
• Beispiel 1: Wärmeleitungsgleichung
• Definition 2: Sobolev-Raum H^k(Omega)
• Definition 3: Sobolev-Raum H₀^k(Omega)
• Beispiel 2: Wärmeleitungsgleichung
• Definition 4: schwache Lösung
• Definition 5: stetige Bilinearform
• Definition 6: V-elliptische Bilinearform
• Satz 1: Existenz und Eindeutigkeit schwacher Lösungen

2.3 Differenzenverfahren für eindimensionale parabolische Aufgaben

• Definition 1: Gitter, Gitterfunktion
• Definition 2: Differenzenquotienten
• Definition 3: Konsistenz(-ordnung) eines Differenzenoperators
• Beispiel 1: Lu = d/dx (k(x) du/dx)
• Lemma 1: Konsistenzordnung des theta-Schemas für die Wärmeleitungsgleichung

2.4 Stabilität und Konvergenz in l²

• Definition 1: Stabilität eines Verfahrens
• Beispiel 1: Stabilitätsuntersuchung nach von Neumann (diskreter Separationsansatz)
• Beispiel 2: formale Fourier-Stabilitätstechnik nach von Neumann
• Lemma 1: l²-Stabilität des θ-Schemas (bzgl. der Anfangsbedingung)
• Lemma 2: l²-Stabilität des θ-Schemas (bzgl. der rechten Seite und der Anfangsbedingung)
• Satz 1: Konsistenz und Stabilität bewirken zusammen Konvergenz

2.5 Tridiagonale Gleichungssysteme

• Lemma 1: hinreichende Bedingungen für Durchführbarkeit und Stabilität
• Lemma 2: Diskretes Maximumprinzip
• Folgerungen 1 bis 4:

2.6 Stabilität und Konvergenz in der Maximumnorm

• Satz 1: Stabilität und Konvergenz in der Maximumnorm

§ 3. Differenzenverfahren für elliptische Differentialgleichungen

3.1 Mathematische Modelle

• Beispiel 1: Wärmeleitung oder Diffusion
• Beispiel 2: Schwingungen
• Beispiel 3: Diffraktion
• Beispiel 4: Auslenkung einer Membran

3.2 Differenzenapproximation des Laplace-Operators

• Approximation an krummlinigen Rändern

3.3 Dirichlet-Aufgabe in 2D

• Definition 1: diskret zusammenhängend

3.4 Diskretes Maximumprinzip

• Lemma 1: Diskretes Maximumprinzip
• Folgerungen 1 bis 6:

3.5 Stabilität und Konvergenz

• Lemma 1: Maximumnorm-Stabilität (bzgl. der rechten Seite und der Randbedingung)

3.6 Dirichlet-Aufgabe im Rechteck

• Lösung des Eigenwertproblems, Kondition in der Spektralnorm
• Lösungsmethode basierend auf der "Fast Fourier Transform"

3.7 Diskretisierungen höherer Ordnung, kompakte Schema

• Kompakte Schema höherer Ordnung
• Lemma 1: Einbettungssatz
• Satz 1: Konvergenz des Schemas höherer Ordnung

§ 4. Einführung in die Theorie der Sobolev-Räume

4.1 Die verallgemeinerte Ableitung

• Definition 1: Raum der Testfunktionen
• Definition 2: Konvergenz im Raum der Testfunktionen
• Definition 3: verallgemeinerte Ableitung
• Beispiel 1: Ableitung der Hutfunktion
• Definition 4: Distribution
• Beispiel 2: reguläre / singuläre Distribution
• Beispiel 3: Diracsche Deltafunktion
• Definition 5: distributive Ableitung

4.2 Die Sobolev-Räume W_p^k(Omega)

• Definition 1: Sobolev-Räume W_p^k(Omega)
• Definition 2: Lipschitz-Rand
• Definition 3: Sobolev-Räume W0_p^k(Omega)

4.3 Die verallgemeinerte Randfunktion

• Lemma 1: Spurabbildung

4.4 Sobolev-Räume mit nichtganzzahliger und negativer Ordnung

• Definition 1: Sobolev-Räume W_q^-k(Omega)
• Lemma 1: Identifizierung von W_q^-k(Omega) mit Dualraum von W0_p^k(Omega)
• Definition 2: Sobolev-Slobodeckij-Raum H^s(Omega)

4.5 Der Satz über äquivalente Normierungen

• Definition 1: äquivalente Normen
• Satz 1: Satz über äquivalente Normierungen
• Beispiel 1: äquivalente Normen im W_p¹(Omega)

4.6 Einige Ungleichungen in Sobolev-Räumen

• Lemma 1: (verallgemeinerte) Friedrichs-Ungleichung
• Lemma 2: Poincaré-Ungleichung

4.7 Die Formel der partiellen Integration

• Lemma 1: Bilanzidentität
• Folgerungen 1 bis 4: partielle Integration, Greensche Formeln

4.8 Einbettungssätze und Sobolev-Ungleichung

• Definition 1: stetig eingebettet
• Lemma 1: W_p^m(Omega) C W_p^k(Omega), k<=m, 1<=p< unendlich
• Lemma 2: W_q^k(Omega) C W_p^k(Omega), k>=0, 1<=p<=q< unendlich
• Lemma 3: natürliche Erweiterung
• Satz 1: Sobolev-Ungleichung
• Beispiel 1:
• Beispiel 2:

§ 5. Variationsformulierung von Randwertproblemen

5.1 Bilinearformen

• Definition 1: Bilinearform
• Beispiel 1: Vektorräume mit Skalarprodukten
• Definition 2: Hilbert-Raum
• Definition 3: stetige (beschränkte) Bilinearform
• Definition 4: koerzive Bilinearform
• Lemma 1: Unterraum mit koerziver Bilinearform ist Hilbert-Raum

5.2 Projektion auf Unterräume

• Satz 1: Projektionssatz
• Definition 1: Projektor

5.3 Darstellungssatz von Riesz

• Satz 1: Darstellungssatz von Riesz

5.4 Variationsformulierungen

• Satz 1: Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Variationsproblems
• Satz 2: Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Galerkin-Verfahrens
• Folgerung 1: Fundamentale Orthogonalität
• Folgerung 2: Infimum in Energie-Norm wird angenommen
• Folgerung 3: Ritz-Ansatz
• Beispiel 1: 1D-Randwertproblem, nichtsymmetrische Bilinearform
• Satz 3: Lax-Milgram
• Folgerung: Galerkin-Gleichung
• Satz 4: Céa-Lemma

5.5 Beispiele elliptischer Variationsformulierungen

• Beispiel 1: Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung
• Beispiel 2: Neumann-Problem

§ 6. Die Finite-Elemente-Methode

6.1 Grundbegriffe, Definitionen

• Definition 1: finites Element, Elementgebiet, Formfunktionen, Knotenvariablen
• Beispiel 1: 1D Lagrange-Element
• Definition 2: Knotenbasis
• Lemma 1: Charakterisierung einer Basis von P'

6.2 Dreieckselemente im R²

• Beispiel 1: Lagrange-Dreieck
• Beispiel 2: quadratisches Lagrange-Dreieck
• Beispiel 3: kubisches Hermite-Element

6.3 Tetraeder-Elemente im R³

• Beispiel 1: Lagrange-Tetraeder
• Beispiel 2: quadratisches Lagrange-Tetraeder

6.4 Triangulation für Teilmengen von R²

• Definition 1: zulässige Triangulation
• Beispiel 1: unzulässige Triangulation
• Lemma 1:

6.5 Konvergenz konformer finiter Elemente

• Definition 1: affin-äquivalente Mengen
• Lemma 1: Änderung der Sobolev-Halbnormen bei affiner Abbildung (Transformationssatz)
• Beispiel 1:
• Lemma 2: geometrische Abschätzung der Normen ||B|| und ||B^-1||
• Beispiel 1 (Fortsetzung):
• Satz 1: Konvergenz der Finite Elemente Verfahren

6.6 L²-Abschätzung für lineare Elemente

• Satz 1: Konvergenz linearer Elemente in L²

§ Exkurs: Unstetige Galerkinverfahren (DG-Verfahren)

Ein Modellproblem

• Variationelle Formulierung
• Galerkin-Approximation und GHalerkin-Orthogonalität
• Beispiel 1:
• Beispiel 2:
• Beispiel 3:
• Fehlerabschätzungen und Schrittweitenkontrolle
• Definition 1:

Vertiefung des Themas

• BMS Lecture Course Discontinuous Galerkin Finite Flement Method, Theory and Applications to Computational Fluid Dynamics, July 14-16, 2009 HU Berlin (Miloslav Feistauer).

§ 7. Einführung in Mehrgitterverfahren

7.1 Ein Modellproblem

• Idee der Multigrid-Methoden

7.2 Gitterabhängige Normen

• Definition 1: gitterabhängiges Skalarprodukt (.,.)_k
• Lemma 1: durch (.,.)_k induzierte Norm ist zur L²-Norm in V_k äquivalent
• Lemma 2: verallgemeinerte Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung

7.3 Die Methode der einfachen Iteration

7.4 Der Multigrid-Algorithmus

• Definition 1: interpolierender Operator, Projektor
• Definition 2: Orthoprojektor
• Lemma 1: Eigenschaft des Orthoprojektors
• Lemma 2: Eigenschaft des Restprojektors
• Lemma 3: Abschätzung des Restprojektors

7.5 Berechnung des numerischen Aufwandes

• Satz 1: Anzahl der arithmetischen Operationen ist Op(k)=O(n_k)

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