In vielen technischen Prozessen (z.B. Abgasströmung durch Katalysator, Brennstoffzelle, Ölfilter, Bioreaktoren) und auch in unserer Umwelt (z.B. Grundwasserströmung oder CO₂-Speicherung im Boden) spielen sich viele Strömungsprozesse in porösen Medien ab.

In dem Seminar sollen ausgewählte Themen aus dem Bereich der Modellierung, Analysis und Numerik von Strömungs- und Transportprozesse in porösen Medien behandelt werden. In diesem Rahmen werden mathematische Modelle zur Beschreibung derartiger Strömungsvorgänge hergeleitet und analysiert. Diese sog. Mehrskalenprobleme sind partielle Differentialgleichungen, die sehr kleine Orts- oder Zeitskalen im Vergleich zu den relevanten räumlichen oder zeitlichen Skalen der (globalen) Lösung der Differentialgleichung besitzen. Dabei stellt sich die Frage, wie man aus den detaillierten Modellen auf der feinsten Skala (sog. Mikroskala), makroskopische Modelle auf gröberen Skalen ableitet (sog. 'Upscaling'). Hierbei werden wir die Methoden der asymptotischen Analysis, wie asymptotische Entwicklung, zwei-Skalen Konvergenz sowie die Methode der formalen asymptotischen Entwicklung abhandeln und in die Theorie der Homogenisierung einführen.

Im numerischen Teil des Seminars werden wir auf modernste numerische Mehrskalenmethoden eingehen; Diese Ansätze ermöglichen es, die makroskopischen Größen unter Berücksichtigung der mikroskopischen Größen zu berechnen, ohne dabei die sehr kleinen Orts- und Zeitskalen numerisch aufzulösen.

Die Einteilung der Gruppen erfolgt auf Grund der Kenntnisse, Interessen und Möglichkeiten der TeilnehmerInnen. Die Zusammensetzung der Gruppen erfolgt unter dem Gesichtspunkt der Komplementarität. Analytisch besonders Interessierte sollen mit numerisch Versierten und Computercracks zusammenarbeiten. Im Idealfall wird jeder Vortrag von einem anderen Gruppenmitglied gehalten. Dabei kommt jedem/jeder TeilnehmerIn in unterschiedlichen Phasen des Seminars eine Führungsrolle zu.

Scheinkriterium:

  Präsentation

• Erläuterung des Anwendungsproblems
• Mathematische Modellierung (evtl. mehrstufig)
• Lösung / Analyse / Numerik
• Diskussion der Resultate und ihrer Relevanz für die Anwendung
• Für die Präsentation wird Prosper bzw. HA-Prosper oder PPower4 empfohlen
  ( Verschiedene Präsentationsprogramme)
• Evtl. numerische Simulationen (möglichst in Matlab, Scilab oder Octave)
  Schriftliche Ausarbeitung (ca. 10 Seiten, inkl. Beispiele)
  Regelmässige Teilnahme am Seminar

Vorkenntnisse:
Basiswissen mathematischer Grundvorlesungen wird vorausgesetzt.
Wünschenswert ist eine erfolgreiche Teilnahme an Lehrveranstaltungen der praktischen und numerischen Mathematik sowie Grundkenntnisse der Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen.

Literatur:

• J.E. Aarnes, S. Krogstad, K.-A. Lie und V. Laptev, Multiscale Mixed Methods on Corner-Point Grids: Mimetic versus Mixed Subgrid Solvers.
• J. Bear und Y. Bachmat, Introduction to modeling of transport phenomena in porous media, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1990.
• J. Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media, Dover, 1988.
• W. E und B. Engquist, The heterogeneous multiscale methods, Commun. Math. Sci. 1 (2003), 87-132.
• M. Ehrhardt, J. Fuhrmann, E. Holzbecher und A. Linke, Mathematical Modeling of Channel - Porous Layer Interfaces in PEM Fuel Cells, Proceedings of FDFC2008 - Fundamentals and Developments of Fuel Cell Conference 2008, Nancy, Frankreich, 10.-12. Dezember 2008.
• M. Ehrhardt, J. Fuhrmann und A. Linke, The Fluid-Porous Interface Problem: Analytic and Numerical solutions to Flow cell problems, Proceedings of MODVAL6 - 6th Symposium on Fuel Cell Modelling and Experimental Validation, Bad Herrenalb/Karlsruhe, 25.-26. März 2009.
• W. E, B. Engquist, X. Li, W. Ren und E. Vanden-Eijnden, Heterogeneous multiscale methods: A review., Commun. Comput. Phys. 2 (2007), 367-450. (open-access article)
• C.L. Farmer, Upscaling: A Review, Numerical Methods in Fluids 40 (2002), 63-78.
• R. Helmig, Multiphase flow and transport in processes in the subsurface: contribution to the modeling of hydrosystems, Springer-Verlag, 1997.
• U. Hornung, Homogenization and Porous Media, Interdisciplinary Applied Mathematics 6, Springer-Verlag, 1997.
• T. Y. Hou und X.H.Wu, A multiscale finite element method for ellipitc problems in composite materials and porous media, J. Comput. Phys., 134 (1997), 236-252.
• M. Kaviany, Principles of Heat Transfer in Porous Media, Springer, New York , 1991.
• W. Kinzelbach, Numerische Methoden zur Modellierung des Transports von Schadstoffen im Grundwasser, Oldenbourg, 1992.
• D.N. Nield und A. Bejan, Convection in Porous Media, Springer, 3rd ed., 2006.
• B. Straughan, Stability and Wave Motion in Porous Media, Series: Applied Mathematical Sciences , Vol. 165, Springer, 2008.
• J.L. Vázquez, The porous medium equation : mathematical theory, Clarendon Press, Oxford, 2007.

Didaktische Vortragstipps:
Wie halte ich einen Seminarvortrag (M.Lehn, Mainz)
Artikel 1, Artikel 2, Artikel 3

Links

• Forschungsnetzwerk COFFEE: COupled Fluid Flow in Energy and Environmental research (WIAS Berlin, FU Berlin, PIK Potsdam, U Erlangen)
• BMBF-Verbundprojekt AdaptHydroMod: Teilprojekt Mehrskalenmodellierung und Systemreduktion für Grundwasserströmungen (U Münster)
• GeoScale - Direct Reservoir Simulation on Geocellular Models (SINTEF)

Ähnliche Vorlesung im Wintersemester 2008/09

• Asymptotische Analysis (Matthias Ehrhardt)

ehrhardt@wias-berlin.de