§ 1. Einführung

1.1 Historische Entwicklung von Halbleiter-Bauelementen

1.2 Hierarchie von Halbleiter-Modellen

• Fluiddynamische Betrachtung - das Drift-Diffusion Modell
• Erhaltung der Masse
• Maxwellsche Gleichungen
• Poisson-Gleichung
• Kinetische Betrachtung - die Liouville Gleichung
• Newtonsche Gesetze
• makroskopische Größen
• Ableitung der Kontinuitätsgleichung

• Quantenmechanische Betrachtung - die Schrödinger Gleichung
• Fragestellungen

§ 2. Grundlagen der Halbleiterphysik

2.1 Halbleiterkristalle

• Definition: Halbleiter
• Bravais-Gitter
• BCC und FCC-Gitter
• Coordination Number
• stationäre Schrödinger Gleichung
• Beispiel 1: Bewegung eines freien Elektrons
• Beispiel 2: unendlich hoher Potentialtopf

• Definition: direktes und reziprokes (duales) Gitter
• Definition: primitive Gitterzelle
• (gewöhnliche) Gitterzelle
• Wigner-Seitz primitive Gitterzelle
• Definition: (erste) Brillouin Zone
• Pseudo-Wellenvektor
• Satz: Beziehung zwischen den Vektoren des reziproken Gitters und Ebenen des direkten Gitters
• Definition: Miller-Indizes
• Algebraische und geometrische Konstruktion der Brillouin Zone des reziproken Gitters
• Lemma: Volumenverhältnis von primitiver Zelle und Brillouin Zone
• Satz von Bloch: die Blochzerlegung

• Dispersionsrelation, n-tes Energieband, Energielücken
• Beispiel 3: Kronig-Penney Modell
• Valenzband und Leitungsband (Wikipedia)
• Wiederholung: Definition eines Halbleiters
• Bandstrukturen von Kristallen in 3D
• Δ-Linie, Λ-Linie, Γ-Punkt
• Bandstrukturen von Si und GaAl

2.2 Numerik: Lösung der (stationären) Schrödinger Gleichung in 1D

• Standard-Methode
• Numerov-Verfahren
• Mickens-Ramadhani Schema (MRS)
• Kombiniertes Numerov-Mickens Schema (CNMS)
• Exponentielle und Bessel- Fittingmethoden

2.3 Das semi-klassische Bild

• Schrödinger Gleichung
• Herleitung: mittlere Elektronengeschwindigkeit (als Funktion der Energiebänder)
• Gruppen- und Teilchengeschwindigkeit
• Folgerungen:
• Kristallimpuls
• effektive Masse (als Funktion der Energiebänder)
• isotrope effektive Masse
• parabolische Bandapproximation
• nicht-parabolische Bandapproximation (Kane-Modell)
• Löcher (Defektelektronen)
• nicht-periodisches (äußeres) Potential

2.4 Die k⋅p-Methode

• Erklärung des Namens k⋅p-Methode
• Satz: asymptotische Entwicklung von E_n(k), k-->0
• Bemerkung 1: Der Fall von degenerierten Valenzbändern
• Bemerkung 2: Der Fall von Löchern im Valenzband

2.5 Halbleiterstatistiken

• Beispiel 1: Kette von N+1 Atomen mit Abstand d
• Lemma 1: Fermi-Dirac Verteilungsfunktion
• Fermionen, Paulisches Auschlußprinzip
• Bemerkung 1: Interpretation der Fermi-Dirac Verteilungsfunktion
• Fermi-Level, Fermi-Potential
• Maxwell-Boltzmann Verteilungsfunktion
• (nicht-)degenerierte Halbleiter
• Lemma 2: Zustandsdichte im Kontinuumslimes im R^d
• Die Delta-Distribution
• Lemma 3: Elektronen- und Löcherdichte
• Lemma 4: Zustandsdichten bei parabolischer Bandapproximation
• Halbleiter-Heterostruktur, Quantendrähte, Quanten Well
• Bemerkung 2: Zustandsdichten bei nicht-parabolischer Bandapproximation
• Lemma 5: Effektive Zustandsdichten bei parabolischer Bandapproximation in 3D
• Lemma 6: Elektronendichte im Quanten Well
• Lemma 7: Elektronen- und Löcherdichte in 3D
• intrinsische Dichte
• Fermi-Energie E_F eines intrinsischen Halbleiters
• Dotierung von Halbleitern
• Donatoren, Akzeptoren
• p-leitender und n-leitender Halbleiter
• Beispiel 2: Dotierung von Germanium-Kristall mit Arsen
• Dotierungsprofil C(x)=N_A(x)-N_D(x)

§ 3. Klassische kinetische Modelle

3.1 Die Liouville-Gleichung

• (klassische) Liouville-Gleichung
• Satz von Liouville:
• Bemerkung: Satz von Liouville im semi-klassischen Bild
• semi-klassische Liouville-Gleichung
• Bemerkung: korrekte Definition der Elektronendichte
• Lemma: Eigenschaften der semi-klassischen Liouville-Gleichung
• Bemerkung: Fall der parabolischen Bandapproximation

3.2 Die Vlasov-Gleichung

• Annahmen für die Herleitung der Vlasov-Gleichung
• Satz: semi-klassische Vlasov-Gleichung
• BBGKY-Hierarchie
• Fall eines Coulomb-Feldes im R³
• Proposition: Vlasov-Poisson System
• Numerische Gallerie: Vlasov-Poisson System in 1D und 2D (Filbet)

3.3 Die Boltzmann-Gleichung

• Kollisionsoperator Q(f), Streurate
• semi-klassische Boltzmann-Gleichung
• Boltzmann-Poisson System
• Numerische Gallerie: Boltzmann-Poisson System als Model für ein MESFET (Carrillo de la Plata)
• Beispiel 1: Phononenstreuung
• akustische und optische Phononen
• Bose-Einstein Statistik
• Fermis goldene Regel
• Beispiel 2: Ionisierte Störstellenstreuung
• Beispiel 3: Elektron-Elektron-Streuung
• Prinzip des detailierten Gleichgewichts
• Satz: H-Theorem
• Maxwell-Verteilung
• Niedrig-Dichte-Approximation Q₀(f)
• Relaxationszeit-Approximation Q_τ(f)
• Erklärung des Begriffs Relaxationszeit
• Lemma: Kern von Q₀(f) besteht aus Maxwell-Verteilungen
• Bemerkung: Fall der parabolischen Bandapproximation
• Beschränkungen der Boltzmann-Gleichung
• Abschätzung des Gültigkeitsbereich mit der Unschärferelation
• de Broglie Länge λ_B
• mittlere freie Weglänge ΔL

3.4 Das bipolare Boltzmann-Modell

• Paarbildung, Rekombination
• Auger-Effekt
• Ionisierung
• radiative und thermale Rekombination
• Rekombinations-Generations Operatoren
• semiklassisches bipolares Boltzmann-Poisson System
• bipolares Boltzmann-Poisson System

3.5 Numerik: Partikelmethoden für die Boltzmann-Gleichung (M.Junk, A.Klar, J.Struckmeier und S.Tiwari)
I. Einführung in Partikelmethoden

1. Was sind Partikelmethoden?
• Beispiel 1: Boltzmann-Gleichung
• Allgemeines Konzept der Partikelmethoden
2. Die Approximation von Funktionen durch Partikelmengen
1. Das Konzept der Konvergenz
• Definition 1: schwache Konvergenz von Folgen von Partikelmengen
• Satz 1: Masse der Partikel konvergiert gegen Masse von f
• Beispiel 2: Boltzmann-Gleichung
• Qualität einer Approximation, Distanz
• Beispiel 3: Beschränkte Lipschitz-Distanz
• Diskrepanz
• Satz 2: Diskrepanz ist geeignete Distanz (Neunzert)
• Beispiel 4:
• Satz 3: Koksma-Hlawka Ungleichung
• Variation einer Funktion in 1D
2. Die Konstruktion von "guten" Partikelmengen
• Definition 2: Punktfolge, Mengenfolge
• Satz 4: Explizite Formel für die Diskrepanz in 1D
• Korollar 1: Mengenfolge mit optimaler Diskrepanz in 1D
• Satz 5: Untere Schranke für die Diskrepanz einer Punktfolge in 1D (Niederreiter)
• p-adische Darstellung
• Definition 3: van-der-Corput-Folge in der Basis p in 1D
• Satz 6: Konvergenzordnung der Diskrepanz der van-der-Corput-Folge (Faure)
• Beispiel 5: Halton-Punktfolge im R^k
• Beispiel 6: Hammersley-Mengenfolge im R^k
• Satz 7:

II. Partikelmethoden für die Boltzmann-Gleichung

1. Wiederholung: Die Boltzmann-Gleichung und das Konzept der Partikelmethoden
2. Kollisionsfreie Boltzmann-Gleichung
• maßtheoretische Formulierung
3. Räumlich homogene Boltzmann-Gleichung
• schwache Formulierung
• maßtheoretische Formulierung
• Satz:
• Algorithmus von Babovsky
• Satz: Konvergenz der Wahrscheinlichkeitsmaße (Billingsley)
• Partikelmethode
4. Volle Boltzmann-Gleichung
• Operator Splitting
• Definition Glättender Kern und geglättetes Maß
• Satz:
• Beispiel: eine glättende Funktion
• schwache Formulierung
• geglättete Integralgleichung
• maßtheoretische Formulierung der zeitdiskretisierten Boltzmann-Gleichung
• Partikelmethode
• Simulation einer makoskopischen Größe
5. Simulationsergebnisse für die volle Boltzmann-Gleichung (C.Klapproth)

§ 4. Klassische Fluid-Modelle

4.1 Herleitung der Drift-Diffusions-Gleichungen

• Skalierung des bipolaren Boltzmann-Modells im R³
• Lemma 1: Charakterisierung des Kern des Kollisionsoperators Q_j
• Lemma 2: Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von Q_j(f)=g
• Hilbert-Entwicklung
• Satz 1: (bipolare) Drift-Diffusions-Gleichungen (van Roosbroeck Modell)
• Mobilitäten, Diffusivitäten, Einstein-Relationen
• Gütigkeitsbereich der Drift-Diffusions-Gleichungen

4.2 Herleitung der hydrodynamischen Gleichungen

• Skalierung der semi-klassischen Boltzmann-Gleichung im R^d
• Momentenmethode
• Beispiel 1:
• Momenten-Gleichungen
• Lemma 1:
• Satz 1: Hydrodynamische Gleichungen für Halbleiter
• Entropie-Minimierungs-Methode, Gibbs-Problem
• Satz 2:
• BBW-Gleichungen (Bløtekjaer, Baccarani & Wordeman)

4.3 Herleitung der SHE-Gleichungen

• Skalierung der semi-klassischen Boltzmann-Gleichung im R³
• Lemma 1:
1. -Q_el ist selbstadjungiert und nicht-negativ auf L²(B)
2. Kern von -Q_el
3. Existenz einer Lösung von Q_el(f)=h
4. Q_el(gf)=gQ_el(f)
• Satz 1: SHE-Gleichungen
• Lemma: Diffusionsmatrix D(x,ε)∈R^3×3 ist symmetrisch und positiv semi-definit
• Beispiel 1: Sphärische symmetrische Energiebänder
• Beispiel 2: Parabolische Bandapproximation

4.4 Numerik: Lösung der (stationären) Drift-Diffusions-Gleichungen in 1D

• Standard-Methode
• Elektronendichte kann negativ werden
• Scharfetter-Gummel-Diskretisierung
• Slotboom Variable

Numerische Simulation eines MOS-Transistors (Energie-Transport-Gleichungen)

• MOSFET: Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor (Wikipedia)
• Wie ist ein Transistor aufgebaut und wie arbeitet er? (K. Janßen)
• Numerische Simulation eines MOS-Transistors, (A.Jüngel, JGIF movie, 0.2 MB)

§ 5. Quanten-kinetische Modelle

5.1 Die Schrödinger Gleichung

• Mehrteilchen-Schrödinger-Gleichung
• Mehrteilchen-Hamilton-Operator
• Dichtematrix
• Liouville-von Neumann / Heisenberg Gleichung
• reiner Zustand / Gemisch
• Beziehung zwischen Schrödinger-Bild und Heisenberg-Bild für allgemeine Anfangsbedingungen

5.2 Die Quanten-Liouville Gleichung

• Definition: Wignerfunktion
• Lemma 1: Mehrteilchen-Wignergleichung / Quanten-Liouville Gleichung
• Lemma 2: Mehrteilchen-Partikeldichte und -Stromdichte
• Formaler klassischer Limes `h->0' und Grenzgleichung
• Quanten-Liouville Gleichung ist nicht positivitätserhaltend

5.3 Die Quanten-Vlasov Gleichung und die Quanten-Boltzmann Gleichung

• Satz 1: Beziehung Quanten-Vlasov Gleichung und Heisenberg Gleichung
• Hartree-Ansatz
• Quanten-Vlasov Gleichung ist nicht positivitätserhaltend
• Formaler klassischer Limes `h->0' und Grenzgleichung
• Quanten-Vlasov-Poisson Problem
• Einfluß des Kristalls: Energieband-Version der Quanten-Vlasov Gleichung
• Quanten-Boltzmann Gleichung
• Relaxationszeit oder BGK-Modell
• Caldeira-Leggett Modell
• Fokker-Planck Operator
• Zusammenfassung der kinetischen Modelle aus Kapitel 3 und 5

5.4 Offene Quantensysteme

• Geschlossene und offene Quantensysteme
• Beispiel 1: stationäre Schrödinger-Gleichung in 1D
• Lemma: Lent-Kirkner Randbedingungen, Reflektions- und Transmissionsamplituden

Numerik: Lösung der Mehrteilchen-Schrödinger Gleichung
Berechnung von Eigenwerten der stationären Schrödinger Gleichung mit der Kombinationstechnik (J.Garcke)

• Born-Oppenheimer-Approximation (Wikipedia)
• Variationsformulierung
• Methode der finiten Elemente
• Hierarchische Basis
• Dünne Gitter
• Kombinationstechnik
• Gradierte Gitter
• Duffy-Trick für das Coulomb-Potential
• Numerische Ergebnisse

Lehrfilm "Dünne Gitter" (H.-J. Bungartz, TUM)

1. Intro / Diskretisierung
2. Hierarchische Basen
3. Dünne Gitter
4. Kombinationsmethode
5. Anwendungsbeispiele

§ 6. Quanten-Fluid Modelle

6.1 Null-Temperatur Quanten-Hydrodynamische Gleichungen

• WKB-Zustand
• Satz 1: Null-Temperatur Quanten-Hydrodynamische Gleichungen
• Bohm-Potential
• Liouville-von Neumann / Heisenberg Gleichung

6.2 Quanten-Hydrodynamik und die Schrödinger-Gleichung

• Satz 1: Quanten-Hydrodynamische Gleichungen mit Temperaturtensor

6.3 Quanten-Hydrodynamik und die Wigner-Gleichung

• skalierte Wigner-Fokker-Planck-Gleichung
• Lemma 1: Erste drei Momentengleichungen
• Lemma 2: Erste Momente bzgl. der Gleichgewichtsdichte
• Lemma 3: Zweite und dritte Momente
• Satz 1: Quanten-Hydrodynamische Gleichungen
• Bohm-Potential

6.4 Herleitung der Quanten-Drift-Diffusions-Gleichung

• skalierte Wigner-Gleichung
• Quanten-Entropie, Quanten-Logarithmus
• Weyl-Quantisierung
• Lemma 1: Quanten-Exponentialfunktion ist Fréchet-differenzierbar
• Lemma 2:
• Definition 1: Quanten-Maxwell-Verteilung
• Satz 1:
• Chapman-Enskog-Methode
• Satz 2:
• Lemma 3:

6.5 Numerik: Lösung von Quanten-Fluid-Gleichungen

• Gekoppeltes Quanten-Drift-Diffusion / Schrödinger-Poisson Modell (A.El Ayyadi und A.Jüngel)
• Kopplung von mikroskopischen und makroskopischen Modellen
• Schrödinger Gleichung mir Lent-Kirkner Randbedingungen
• Quanten-Drift-Diffusion Modell
• Kopplungsbedingungen
• Numerische Ergebnisse für resonante Tunneldiode in 1D
• Negativer differentieller Widerstand
• Einfluß der Position des linken/rechten Interfaces auf Strom-Spannungs-Kennlinie
• Einfluß der Relaxationszeit auf Strom-Spannungs-Kennlinie
• Hysteresis
• Vergleich der CPU-Zeiten

• Quanten-Hydrodynamische Gleichung (C.Gardner)

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