Der erste Schritt zur mathematischen Behandlung von realen Problemen aus der Physik, Ingenieurswissenschaften, oder den Finanzwissenschaften besteht in der Modellierung, d.h. in der Formulierung des Problems mit mathematischen Gleichungen.

Im Seminar wird eine Vielzahl von unterschiedlichen Themen (Kristallisationsprozess, Verkehrsfluß, Räuber-Beute-Systeme für Fischbestände, Modellierung von Farbmuster auf Tierfellen,...) diskutiert, die sich alle mit gewöhnlichen und teilweise partiellen Differentialgleichungen beschreiben lassen. Die Herausforderungen liegen dabei in der Darstellung des Anwendungsproblems (gegebene Daten, relevante Fragestellungen), der Auswahl von wesentlichen Effekten (und unwesentlichen, kleinen Störungen), Festlegung der charakteristischen Zeit- und Längenskalen. Schließlich soll durch ``Lösung'' des gewonnenen mathematischen Modells Näherungsaussagen zur den Ausgangsfragestellungen gegeben werden.

Kristallisationskeime                                           Fellfärbung einer Giraffe

Mögliche Themen des Seminars:

  Mathematik von Finanzmärkten: Die Black-Scholes Gleichung zur Bewertung von Optionen
  Kristallisationsdynamik: Das Kolmogorov-Avrami Modell
  Verkehrsflußdynamik: Mikroskopische und Makroskopische Modelle

• J.V.Morgan, Numerical Methods for Macroscopic Traffic Models, PhD. Thesis, University of Reading, August 2002.
  Räuber-Beute-Systeme für Fischbestände
  Modellierung von Farbmuster auf Tierfellen
• Animal Coat Pattern Formation (RPAMath: Raising Public Awareness of Mathematics)
• The Mathematics of Animal Coat Patterns (Preston Wendt)
• Fur coat pattern formation of exotic vertebrates (Mattias Brännström, Peter Gunnarsson, Chalmers)

Weitere mögliche Themen des Seminars aus dem Bereich hyperbolische Gleichungen:

  Modellierung von Turbulenzen: Die Burgers-Gleichung (dvi, ps, pdf)
• Animation `burgers' (Fig. 11.8) from Chapter 11 of Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems by R.J.LeVeque, 2002
• Animated Burgers equation solver ( X.Li, AMS Department, SUNY at Stony Brook)
  Strömung in Oberflächengewässern: Die Flachwassergleichung (auch Saint-Venant Gleichung) (dvi, ps, pdf)
• Flachwassergleichung auch zur Beschreibung von Schneelawinen und von atmosphärischen Strömungen
• Animations from Chapter 13 of Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems by R.J.LeVeque, 2002
  • `swhump1' (Wasserbuckel, Fig. 13.1)
  • `dambreak' (Dammbruch, Fig 13.4)
• JAVA-Applet: Simulationen mit der 1-dimensionale Flachwassergleichung (P.Milbradt, Universität Hannover)
• MPEG-Movies of 2D Solutions (K.-A. Lie, Norwegian University of Science and Technology) (use 'xanim' to view)
  • `dambreak.mpeg' (Dammbruchproblem)
  • `rock.mpeg' (durch Bodenunebenheiten generierte Wasserwellen)
• Schock beim morgendlichen Zähneputzen: eine Stoßwelle (F. Bornemann, TU München)
  Die isotherme Euler-Gleichung (dvi, ps, pdf)
• Matlab-File: iso_euler.m
• Scilab-File: iso_euler.sci, kurven.sci
  Rohölgewinnung: Die Buckley-Leverett-Gleichung (dvi, ps, pdf)
• Animation `bucklev' (Fig. 16.5) from Chapter 16 of Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems by R.J.LeVeque, 2002
  Umwelttechnik (Sedimentation einer idealen Suspension): Die Kynch-Gleichung (dvi, ps, pdf)
  Dynamik eines Verkehrsflusses mit Ampelschaltung (dvi, ps, pdf)
• JAVA-Animation Verkehrsflußproblem, Detailbeschreibung, (A.Jüngel, Universität Mainz)
• MATLAB Webserver Mehr Verkehrsflußprobleme (A.Jüngel, Universität Mainz)
• Animations from Chapter 11 of Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems by R.J.LeVeque, 2002
  • `congestion' (Stau, Fig. 11.1)
  • `greenlight' (Fig. 11.2)
  • `redlight' (Fig. 11.3)
  Modellierung von Flutwellen (dvi, ps, pdf)
  Modellierung von Gletscherbewegungen (dvi, ps, pdf)
  Ein dynamisches Modell für das Wachstum und die Größenverteilung von multiplen metastatischen Tumoren (dvi, ps, pdf)
  Das hydrodynamische Modell für die Halbleitersimulation

Scheinkriterium:

  Präsentation

• Erläuterung des Anwendungsproblems
• Mathematische Modellierung (evtl. mehrstufig)
• Lösung / Analyse / Numerik
• Diskussion der Resultate und ihrer Relevanz für die Anwendung
• Für die Präsentation wird Prosper bzw. HA-Prosper oder PPower4 empfohlen
  ( Verschiedene Präsentationsprogramme)
• Evtl. numerische Simulationen (möglichst in Matlab, Scilab oder Octave)
  Schriftliche Ausarbeitung (ca. 10 Seiten, inkl. Beispiele)
  Regelmässige Teilnahme am Seminar

Vorkenntnisse: Numerische Mathematik, Gewöhnliche Differentialgleichungen
Kenntnisse partieller Differentialgleichungen sind von Vorteil

Literatur: wird im Seminar ausgegeben

Didaktische Vortragtipps: Artikel 1, Artikel 2, Artikel 3

Vortragsliste

ehrhardt@math.tu-berlin.de