Teil I: Mathematische Theorie

§ 0. Einführung, Beispiele

0.1 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen in 1D

• Definition 1: hyperbolisch

0.2 Die Herleitung von Erhaltungsgleichungen

• Beispiel 1: 1D-Gasströmung in einer Röhre

§ 1. Skalare Erhaltungsgleichungen

1.1 Beispiele

• Beispiel 1: Lineare Advektionsgleichung
• Beispiel 2: Advektionsgleichung mit variablen Koeffizienten
• Beispiel 3: (viskose) Burgers-Gleichung

1.2 Schockentwicklung, schwache Lösungen

• Beispiel 1: Schockentwicklung bei Burgers-Gleichung

Definition 1: schwache Lösung

1.3 Das Riemann-Problem - Stoßwellen - Verdünnungswellen

• Riemann-Problem
• Rankine-Hugoniot Sprungbedingung
• Beispiel 1: Burgers-Gleichung
• Gebietsregel
• Manipulation mit Erhaltungssätzen

1.4 Die Entropiebedingung

• Entropiebedingung (1.Version)
• Entropiefunktionen
• Entropiebedingung (2.Version)

1.5 Zusammenfassung

1.6 Weitere Beispiele skalarer Gleichungen

• Beispiel 1: Verkehrsfluß-Modell
• Beispiel 2: Buckley-Leverett-Gleichung (Zweiphasenströmung)
• Beispiel 3: Kynch-Gleichung (Sedimentationsprozesse)

§ 2. Lineare hyperbolische Systeme

• Definition 1: hyperbolisch
• Definition 2: streng hyperbolisch

2.1 Beispiele

• Beispiel 1: Euler-Gleichungen der Gasdynamik, Stoßrohr, Tragflügelumströmung
• Beispiel 2: Flachwassergleichung
• Beispiel 3: Gleichungen der Magnetohydrodynamik

2.2 Charakteristische Variablen

• Abhängigkeitsbereich
• p-Charakteristiken
• Einfache Wellen
• Beispiel 1: Wellengleichung

2.3 Linearisierung von nichtlinearen Systemen

Beispiel 1: 1D Euler-Gleichungen der Gasdynamik, Schallwellen

Beispiel 2: isotherme Euler-Gleichungen

2.4 Das Riemann-Problem

• Riemann-Problem
• Rankine-Hugoniot Sprungbedingung für Systeme

2.5 Der Hugoniot-Locus im Phasenraum

• Definition 1: Phasenraum, Hugoniot-Locus
• Beispiel 1:

§ 3. Nichtlineare hyperbolische Systeme

3.1 Hugoniot-Locus, Schocks

• Riemann-Problem
• Definition 1: Hugoniot-Locus
• Hugoniot-Kurven
• Satz 1: lokale Existenz von Hugoniot-Kurven
• Beispiel 1: isotherme Euler-Gleichungen

Satz 2: (lokale) eindeutige Lösbarkeit des Riemann-Problems

3.2 Die Entropiebedingung von Lax

• Entropiebedingung von Lax
• echt nichtlineares Feld
• Beispiel 1: isotherme Euler-Gleichungen

Lineare Degeneration

• Kontaktunstetigkeit
• modifizierte Entropiebedingung

3.3 Verdünnungswellen, Riemann-Invarianten

• Beispiel 1: isotherme Euler-Gleichungen
• Berechnung der Verdünnungswellen (1.Methode)
• Allgemeine Lösung des Riemann-Problems
• Beispiel 1: isotherme Euler-Gleichungen
• Matlab-File: iso_euler.m
• Scilab-File: iso_euler.sci, kurven.sci
• Satz 1: (lokale) eindeutige Lösbarkeit des Entropie-erfüllenden Riemann-Problems

Berechnung von Kontaktunstetigkeiten und Verdünnungswellen mittels Riemann-Invarianten (2.Methode)

• Definition 1: p-Riemann-Invarianten
• Beispiel 1: isotherme Euler-Gleichungen

3.4 Das Riemann-Problem für die vollen Euler-Gleichungen

• isentrope Euler-Gleichungen
• Riemann-Invarianten
• Lösung des Riemann-Problems

Teil II: Numerische Methoden

§ 4. Numerische Methoden für lineare Gleichungen

• Gitter(-punkte), Näherung, hyperbolisches Schrittweitenverhältnis
• Finite Differenzenverfahren
• Beispiel 1: explizites Euler-Verfahren
• Beispiel 2: implizites Euler-Verfahren
• Beispiel 3: Lax-Friedrichs-Verfahren
• Beispiel 4: Leapfrog-Verfahren
• Beispiel 5: Lax-Wendroff-Verfahren
• allgemeine explizite Einschrittverfahren Uⁿ⁺¹=H_k(Uⁿ)

4.1 Fehler, Konsistenz

• Fehler(-funktion)
• Definition 1: Konvergenz
• Beispiel 1: explizites Euler-Verfahren
• Definition 2: lokaler Diskretisierungsfehler, Konsistenz(-ordnung)

• Beispiel 2: Lax-Friedrichs-Verfahren

4.2 Stabilität

• Rekursionsformel für den Fehler
• Definition 1: Stabilität
• Satz 1: Lax-Richtmyer'scher Äquivalenzsatz
• Beispiel 1: Lax-Friedrichs-Verfahren
• Definition 2: (numerischer) Abhängigkeitsbereich
• CFL (Courant-Friedrichs-Levy)-Bedingung
• Beispiel 2: einseitige Methode
• Beispiel 3: 3-Punkt-Schema
• Beispiel 1: Lax-Friedrichs-Verfahren (Fortsetzung)
• Upwind-Methoden
• Beispiel 2: einseitige Methode
• Beispiel 4: Upwind-Methode

4.3 Berechnung unstetiger Lösungen

• Beispiel 1: u_t+u_x=0, Methoden 1./2. Ordnung, numerische Resultate
• Modifizierte Gleichungen (für Verfahren 1.Ordnung)
• Beispiel 2: Lax-Friedrichs-Verfahren
• künstliche Diffusion
• Beispiel 3: Upwind-Methode
• Fehler für unstetige Daten
• Modifizierte Gleichungen (für Verfahren 2.Ordnung)
• Beispiel 4: Lax-Wendroff-Verfahren
• Beispiel 5: Beam-Warming-Verfahren
• Dispersionsrelation
• Phasengeschwindigkeit, Dispersion
• Gruppengeschwindigkeit

§ 5. Konservative Methoden für nichtlineare Gleichungen

5.1 Der Satz von Lax-Wendroff

• Beispiel 1: Upwind-Methode für u_t+u u_x=0, numerische Resultate
• Definition 1: konservativ, numerischer Fluß, konsistent
• Interpretation
• Beispiel 2: (konservative) Upwind-Methode für u_t+(u²/2)_x=0
• Beispiel 3: Lax-Friedrichs-Verfahren für u_t+f(u)_x=0
• Beispiel 4: Lax-Wendroff-Verallgemeinerungen für u_t+f(u)_x=0
• Beispiel 5: Zweischritt-Verfahren
  • Richtmyer-Zweischritt-Lax-Wendroff-Verfahren
  • MacCormack-Verfahren

Definition 2: Totalvariation

Definition 3: Konvergenz

Satz 1: Satz von Lax-Wendroff

Entropiebedingung

• Beispiel 6: Riemann-Problem für u_t+(u²/2)_x=0, verallg. Upwind
• transonische Verdünnungswellen

Approximation der Entropielösung

• Diskrete Entropiebedingung
• Numerischer Entropiefluß
• Satz 2: Grenzlösung ist Entropielösung

5.2 Das Godunov-Verfahren

• Beispiel 1: Upwind, Lax-Friedrichs für u_t+au_x=0
• Beispiel 2: CIR (Courant-Isaacson-Rees)-Verfahren
• Godunov-Verfahren
• Berechnung der Entropielösung
• Satz 1: Godunov-Verfahren erfüllt diskrete Entropiebedingung
• Korollar 1: Grenzlösung der Godunov-Methode ist Entropielösung

5.3 Näherungsweise Lösung des Riemann-Problems

• approximative Riemann-Löser
• 2 Ansätze für approximatives Godunov-Verfahren
• Satz 1: Konservativität und Konsistenz des approximativen Godunov-Verfahrens
• Das Verfahren von Roe
• Definition 1: Roe-Matrix
• Vor- und Nachteile des Roe-Verfahrens
• Konstruktion eines "sonic entropy fix"
• skalare Probleme
• Beispiel 1:
• Beispiel 2:
• Systeme
• Beispiel 3:
• Beispiel 4:
• Konstruktion einer Roe-Matrix
• Beispiel 5: Roe-Matrix für isotherme Euler-Gleichungen

§ 6. Konvergenz skalarer Verfahren (nichtlineare Stabilität)

6.1 TV-Stabilität

• Konvergenzbegriff
• Definition 1: TV-Stabilität
• Satz 1: Kriterium für TV-Stabilität
• Satz 2: Konvergenzsatz

6.2 Stabilitätskriterien

• Satz 3: TVD-Eigenschaft von Entropielösungen
• Definition 2: TVD (total variation diminishing)-Methode
• Satz 4: Monotonieerhaltungseigenschaft von Entropielösungen
• Definition 3: monotonieerhaltend
• Satz 5: TVD-Methoden sind monotonieerhaltend
• Satz 6: Monotonieerhaltende 3-Punkt-Verfahen sind von 1.Ordnung genau

Satz 7: L¹-Kontraktionseigenschaft von Entropielösungen

Definition 4: l¹-kontrahierend

Satz 8: l¹-kontrahierende Methoden sind TVD

Beispiel 1: linksseitige Upwind-Methode

Satz 9: Monotonieeigenschaft von Entropielösungen

Korollar 1: Minimum-Maximum-Eigenschaft von Entropielösungen

Definition 5: monoton

Beispiel 2: Lax-Friedrichs-Verfahren

Satz 10: monotone Verfahren sind l¹-kontrahierend

Satz 11: monotone Methoden besitzen höchstens Konsistenzordnung 1

Satz 12: Grenzlösung von konsistenten, monotonen Methoden ist Entropielösung

Zusammenfassung

§ 7. Hochgenaue Methoden (Konstruktion hochauflösender TVD-Methoden)

7.1 Künstliche Viskosität

• Beispiel 1: Lax-Wendroff für u_t+au_x=0 mit künstlicher Viskosität
• Satz 1: Lineare monotonieerhaltende Methoden haben höchstens Konsistenzordnung 1
• Korollar 1: Stabilitätsbegriffe aus Kapitel 6.2 sind für lineare Methoden äquivalent
• lösungsabhängige künstliche Viskosität

7.2 Methoden mit Flußbegrenzung (flux-limiter)

• Beispiel 2: F_L: Upwind-Fluß, F_H:Lax-Wendroff-Fluß für u_t+au_x=0
• Satz 2: TVD-Methoden in Nähe von Extremalpunkten nicht 2.Ordnung
• Auflösung 2.Ordnung
• Satz 3: TVD-Kriterium für allgemeine Methode mit Flußbegrenzung

``Superbee limiter`` von Roe

Flußbegrenzung nach van Leer

Verallgemeinerung für lineare Systeme

7.3 Methoden mit Anstiegsbegrenzung (slope-limiter)

• Algorithmus: Rekonstruktion, Evolution, Projektion
• Satz 4: TVD-Kriterium für allgemeine Methode mit Anstiegsbegrenzung
• Beispiel 3: Interpretation von Lax-Wendroff für u_t+au_x=0
• minmod-Anstieg
• Verallgemeinerung für lineare Systeme
• Verallgemeinerung für nichtlineare Systeme

§ 8. Semidiskrete Methoden

• Linienmethode
• Evolutionsgleichungen für Zellenmittel
• bessere Approximation des Flusses
• Beispiel 1: stückweise lineare Approximation
• Rekonstruktion mittels Stammfunktionen
• ENO (essentially nonoscillatory)-Verfahren
• Definition 1: ENO-Verfahren p-ter Ordnung

§ 9. Mehrdimensionale Probleme

• Finite Volumen-Methoden
• Semidiskrete Methoden
• Splitting-Verfahren
• Beispiel 1: skalare Advektionsgleichung in 2D
• Splitting 1.Ordnung
• Strang-Splitting
• Beispiel 2: Lineare Erhaltungsgleichung in 2D
• Satz 1:
• Satz 2:
• TVD-Methoden in 2D
• Satz 3: TVD-Methoden in 2D haben höchstens Konsistenzordnung 1

Teil III: Exkurse

§ 10. Anfangsrandwertprobleme für Erhaltungsgleichungen

10.1 Randbedingungen für lineare Systeme

• Beispiel 1: lineares System in 1D
• Beispiel 2: 1D Euler-Gleichungen
• Unter/Überschall-Einströmrand
• Ausströmextrapolation
• Beispiel 3: No-flux Randbedingung im R²
• Beispiel 4: Absorbierende Randbedingungen
• Definition 1: starke Lösung
• Satz 1: Existenz/Eindeutigkeit von starker Lösung des ARWP in 2D
• Definition 2: sachgemäß gestelltes ARWP
• Satz 2: Unsachgemäße Gestelltheit des ARWP

Satz 3: Notwendige Bedingung für sachgemäße Gestelltheit

Lemma 1: Gleichmäßige Kreiss-Bedingung

10.2 Randbedingungen für nichtlineare skalare Gleichungen

• Definition 1: BV(&Omega)
• Satz 1: Kompaktheit in L¹(&Omega)
• Lemma 1: Existenz einer Spurabbildung
• Satz 2: Konvergenz der Viskositätslösung
• Motivation der Randbedingung

Definition 2: Schwache Lösung des ARWP

Satz 3: Existenz/Eindeutigkeit von schwacher Lösung des ARWP

§ 11. Berechnung von Lösungen auf unbeschränkten Gebieten (nichtreflektierende Randbedingungen)

11.1 Sachgemäß gestellte ARWP in 1D

• Beispiel 1: Flachwassergleichung in 1D
• sachgemäß gestellte RBen für lineare hyperbolische Systeme in 1D
• Ausstrahlungsbedingung
• Interpretation als Ein-Weg-Wellengleichung

11.2 Reflektionen am künstlichen Rand

• Kontinuierlicher Fall
• Beispiel 2: Flachwassergleichung in 1D
• Diskretisierter Fall
• Effekte der Ortsdiskretisierung: der semi-diskrete Fall
• Wechselwirkung: physikalische und numerische Moden
• Satz 1: Konsistenzordnung des diskreten ARWP

11.3 Stabilität des diskreten ARWP

• von Neumann Kriterium
• Godunov-Ryabenki Bedingung
• GKS-Stabilität
• Satz 2: Charakterisierung der GKS-Stabilität mithilfe der Gruppengeschwindigkeit
• Beispiel 3: Leapfrog Schema und Ausströmxetrapolation 1.Ordnung für Advektionsgleichung
• Stabilisierungsmethoden
• Beispiel 4: Änderung der Randbedingung: Ruckwärtsextrapolation in Ort und Zeit
• Beispiel 5: Änderung des inneren Schemas: Crank-Nicolson Schema
• Satz 3: Für Analyse der GKS-Stabilität reicht Halbraumproblem

11.4 Zweidimensionale linearisierte Flachwassergleichungen

• Ein-Weg Wellengleichungen
• Dispersionsrelation der Flachwassergleichungen
• Engquist-Majda Randbedingung 1.Ordnung
• Engquist-Majda Randbedingung 2.Ordnung
• Higdons Randbedingung höherer Ordnung
• Bestimmung der zugehörigen Reflektionskoeffizienten
• Numerische Implementierung: das Eckenproblem

§ 12 Ein Kinetischer Ansatz für hyperbolische Systeme

• Beispiel 1: Advektionsgleichung, entsprechende kinetische Transportgleichung
• Beispiel 2: Burgers-Gleichung, entsprechende kinetische Transportgleichung
• Schocks und der Kollisionsterm
• Kinetische Schemata für hyperbolische Systeme
• Konstruktion einer Einschränkungsfunktion &mu
• Definition 1: &mu is n-konsistent zur Entropiefunktion &eta
• Definition 2: Entropiefunktion der Ordnung n
• Satz 1: Existenz einer n-konsistenten Einschränkungsfunktion &mu

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