Matthias Ehrhardt (WIAS Berlin)

Titel: Numerische Lösung von PDGln auf unbeschränkten Gebieten mit Anwendungen in der Physik

Zusammenfassung:

Bei der numerischen Berechnung der Lösung einer partiellen Differentialgleichung (PDGl) 
auf einem unbeschränkten Gebiet werden gewöhnlich künstliche Ränder eingeführt,
um das Rechengebiet zu beschränken.
Spezielle Randbedingungen werden an diesen künstlichen Rändern hergeleitet, 
um die exakte Ganzraumlösung zu approximieren. Falls die Lösung des Problems auf dem
 beschränkten Gebiet mit der Ganzraumlösung (eingeschränkt auf das Rechengebiet) identisch ist, 
werden diese Randbedingungen als transparente Randbedingungen  (TRBen) bezeichnet.

Existierende Diskretisierungen dieser TRB führen zu numerischen Reflektionen an den
 künstlichen Rändern und zerstören häufig die Stabilität der zugrundeliegenden
 numerischen Methode. Diese Probleme treten nicht auf, wenn eine sog. diskrete
 TRB verwendet wird, die direkt vom diskretisierten Ganzraumproblem hergeleitet wird.

Während ich im ersten Teil des Vortrags die Herleitung und grundlegenden Prinzipien 
der TRBen [1] für lineare PDGLen vorstelle, werde ich im zweiten Abschnitt auf aktuelle 
Arbeiten zu Finite-Elemente-Methoden für periodischen Medien auf 
unbeschränkten Gebieten eingehen [2,3,4,5] und erläutern, welche mathematischen Techniken existieren,
  künstliche Randbedingungen auch für nichtlineare PDGLen (z.B. die kubische Schrödinger Gleichung) 
zu konstruieren [1,6].

Schliesslich werde ich im dritten Teil kurz auf die zahlreichen Anwendungen speziell in der Physik
 (Quanten-Wellenleiter [7], Schrödinger Gleichung auf Kreisgebiet [8], Schrödinger-Poisson Systeme [9], 
sowie Akustik/Optik [10]) eingehen und dabei meine mögliche Beteiligung am SFB-TR 18 "Relativistische
 Laser-Plasma-Dynamik" und am GRK 1203 "Dynamik heisser Plasmen" diskutieren.


REFERENZEN

[1] X. Antoine, A. Arnold, C. Besse, M. Ehrhardt und A. Schädle,
     "A Review of Transparent and Artificial Boundary Conditions Techniques for 
      Linear and Nonlinear Schrödinger Equations",
      Commun. Comput. Phys. Vol. 4, Number 4, (2008), 729-796. (open-access article)

[2] M. Ehrhardt und C. Zheng,
     "Exact artificial boundary conditions for problems with periodic structures",
     J. Comput. Phys. Vol. 227, Issue 14, (2008), 6877-6894.

[3] M. Ehrhardt, H. Han und C. Zheng,
     "Numerical simulation of waves in periodic structures",
     Commun. Comput. Phys. Vol. 5, Number 5, (2009), 849-872.

[4] M. Ehrhardt, J. Sun und C. Zheng,
     "Evaluation of exact boundary mappings for one-dimensional semi-infinite 
      periodic arrays",  WIAS-Preprint Nr. 1358, September 2008, 
     (eingereicht bei: Communications in Mathematical Sciences), 2008.

[5] M. Ehrhardt (ed.),
     "Wave Propagation in Periodic Media - Analysis, Numerical Techniques and 
      practical Applications", Progress in Computational Physics, Volume 1, 
     Bentham Science Publishers Ltd., erscheint im Herbst 2009.

[6] A. Zisowsky und M. Ehrhardt,
     "Discrete artificial boundary conditions for nonlinear Schrödinger equations",
     Math. Comput. Modell. Vol. 47, Issue 11-12, (2008), 1264-1283.

[7] A. Arnold, M. Ehrhardt und M. Schulte,
     "Numerical Simulation of Quantum Waveguides",
     Kapitel in: F.Columbus (ed.), "Very-Large-Scale Integration (VLSI): 
     Architecture, Performance and Nano Applications.", 
     Nova Science Publishers, Inc., Hauppauge, NY 11788, 2008.

[8] A. Arnold, M. Ehrhardt, M. Schulte und I. Sofronov,
     "Discrete transparent boundary conditions for the Schrödinger equation 
      on circular domains", WIAS-Preprint Nr. 1344, Juli 2008, 
      (eingereicht bei: Communications in Mathematical Sciences).

[9] M. Ehrhardt und A. Zisowsky,
     "Fast Calculation of Energy and Mass preserving solutions of
     Schrödinger-Poisson systems on unbounded domains",
      J. Comput. Appl. Math. Vol. 187, Issue 1, (2006), 1-28.

[10] M. Ehrhardt und A. Zisowsky,
     "Discrete non-local boundary conditions for Split-Step Pade
      Approximations of the One-Way Helmholtz Equation",
     J. Comput. Appl. Math. Vol. 200, Issue 2, (2007), 471-490.