Matthias Ehrhardt (WIAS Berlin)
Titel: Numerische Lösung von PDGln auf unbeschränkten Gebieten
       und Level-Set Methoden in der medizinischen Bildverarbeitung

Zusammenfassung:
Bei der numerischen Berechnung der Lösung einer partiellen Differentialgleichung (PDGl) auf einem unbeschränkten Gebiet werden gewöhnlich künstliche Ränder eingeführt, 
um das Rechengebiet zu beschränken. 
Spezielle Randbedingungen werden an diesen künstlichen Rändern hergeleitet, um die exakte Ganzraumlösung zu approximieren. Falls die Lösung des Problems auf dem beschränkten Gebiet mit der Ganzraumlösung (eingeschränkt auf das Rechengebiet) identisch ist, werden diese Randbedingungen als transparente Randbedingungen (TRBen) bezeichnet. 

Existierende Diskretisierungen dieser TRB führen zu numerischen Reflektionen an den künstlichen Rändern und zerstören häufig die Stabilität der zugrundeliegenden Finite Differenzen Methode. 
Diese Probleme treten nicht auf, wenn eine sog. diskrete TRB verwendet wird, die direkt vom diskretisierten Ganzraumproblem hergeleitet wird.
Diese diskrete TRB ist reflektionsfrei und erhält die Stabilitätseigenschaften des Ganzraumschemas.

Da die diskrete TRB eine Faltung in der Zeit beinhaltet, wird die Auswertung speziell für Langzeitsimulationen sehr aufwändig. 
Als Ausweg wurden approximative diskrete TRBen hergeleitet, 
deren Faltungskern eine endliche Summe von Potenzen ist. Dieser Kern kann mit einer einfachen Dreiterm-Rekursion ausgewertet werden, so dass die Ordnung des Gesamtaufwandes des numerischen Schemas durch die Randbedingungen nicht mehr erhöht wird.

Neben der Herleitung und grundlegenden Prinzipien werde ich dabei auch auf aktuelle Arbeiten eingehen (wie z.B. periodische Medien) und einige Anwendungen präsentieren. 
Typische Anwendungen sind 1-Weg-Wellenausbreitungsproblemen in vielen Bereichen, z.B. (Unterwasser-)Akustik, Seismologie, integrierte Optik und Plasmaphysik und periodische Medien (z.B. Metamaterialien mit negativen Brechungsindex).

Im zweiten Teil meines Vortrags werde ich auf eine mögliche wissenschaftliche 
Kooperation mit dem Fachbereich 4 Informatik 
(speziell Institut für Computervisualistik) eingehen.
Ich arbeite im Bereich der medizinischen Bildverarbeitung
mit der Computer Vision Gruppe (Informatik, TU Berlin) 
und dem Herz-Zentrum Berlin zusammen. 
Im Rahmen einer betreuten Doktorarbeit an der TU Berlin
entwerfen wir neuartige Level-Set Methoden zur Bildsegmentieren von MR-Bildern 
zum Erkennen von sog. Plaque-Ablagerungen in Blutadern und validieren 
diese neuen Methoden mithilfe der Aerzte vom Herz-Zentrum.
Weiterhin entwerfen wir Level-Set Methoden zur Bild-Segmentation bei Ratten-Herzen
was zu einer automatischen Bestimmung von Durchflussmengen von Blut beim menschlichen
Herzen anhand der MR-Bilder führen soll.