Matthias Ehrhardt (WIAS Berlin)

Titel: Numerische Lösung von PDGln auf unbeschränkten Gebieten

Zusammenfassung:

Bei der numerischen Berechnung der Lösung einer partiellen Differentialgleichung (PDGl) 
auf einem unbeschränkten Gebiet werden gewöhnlich künstliche Ränder eingeführt,
um das Rechengebiet zu beschränken.
Spezielle Randbedingungen werden an diesen künstlichen Rändern hergeleitet, 
um die exakte Ganzraumlösung zu approximieren. Falls die Lösung des Problems auf dem beschränkten Gebiet mit der Ganzraumlösung (eingeschränkt auf das Rechengebiet) 
identisch ist, werden diese Randbedingungen als transparente Randbedingungen
 (TRBen) bezeichnet.

Existierende Diskretisierungen dieser TRB führen zu numerischen Reflektionen an den
 künstlichen Rändern und zerstören häufig die Stabilität der zugrundeliegenden
 Finite Differenzen Methode. Diese Probleme treten nicht auf, wenn eine sog. diskrete
 TRB verwendet wird, die direkt vom diskretisierten Ganzraumproblem hergeleitet wird.

Während ich im ersten Teil des Vortrags die Herleitung und grundlegenden Prinzipien 
der TRBen [1] vorstelle, werde ich im zweiten Abschnitt auf aktuelle Arbeiten zu Finite-Elemente-Methoden für periodischen Medien auf unbeschränkten Gebieten 
eingehen [2,3]  und dabei einige moderne Anwendungen (z.B. Metamaterialien mit 
negativen Brechungsindex oder Halbleiter-Übergitter) präsentieren.

Schliesslich werde ich im dritten Teil kurz auf die zahlreichen Anwendungen u.a.
in der Physik (Quantenmechanik [4], Akustik/Optik [5]), 
in den Wirtschaftwissenschaften (nicht-lineare Black-Scholes Gleichungen [6,7]), 
Luftverschmutzung [8], in der Informatik (fluide, stochastische Petri-Netze [9]) 
und  in der Biologie (Populationsmodelle [10]) eingehen.

REFERENZEN

[1] X. Antoine, A. Arnold, C. Besse, M. Ehrhardt und A. Schädle,
     "A Review of Transparent and Artificial Boundary Conditions Techniques for 
      Linear and Nonlinear Schrödinger Equations",
      Commun. Comput. Phys. Vol. 4, Number 4, (2008), 729-796. (open-access article)

[2] M. Ehrhardt und C. Zheng,
     "Exact artificial boundary conditions for problems with periodic structures",
    J. Comput. Phys. Vol. 227, Issue 14, (2008), 6877-6894.

[3] M. Ehrhardt, H. Han und C. Zheng,
     "Numerical simulation of waves in periodic structures",
     Commun. Comput. Phys. Vol. 5, Number 5, (2009), 849-872.

[4] M. Ehrhardt und A. Zisowsky,
     "Fast Calculation of Energy and Mass preserving solutions of
     Schrödinger-Poisson systems on unbounded domains",
     J. Comput. Appl. Math. Vol. 187, Issue 1, (2006), 1-28.

[5] M. Ehrhardt und A. Zisowsky,
     "Discrete non-local boundary conditions for Split-Step Pade
      Approximations of the One-Way Helmholtz Equation",
     J. Comput. Appl. Math. Vol. 200, Issue 2, (2007), 471-490.

[6] M. Ehrhardt und R.E. Mickens,
     "A fast, stable and accurate numerical method for the Black-Scholes 
      equation of American options", 
      Int. J. Theoret. Appl. Finance Vol. 11, Number 5, (2008), 471-501.

[7] M. Ehrhardt (ed.),
     "Nonlinear Models in Mathematical Finance: New Research Trends
      in Option Pricing",
      Nova Science Publishers, Inc., Hauppauge, erscheint im Herbst 2008.

[8] Dang Quang A und M. Ehrhardt,
     "Adequate Numerical Solution of Air Pollution problems
     by Positive Difference schemes on unbounded domains",
     Math. Comput. Modelling Vol. 44, Issue 9-10, (2006), 834-856.

[9] A. Zisowsky und M. Ehrhardt,
     "Discrete Transparent Boundary Conditions for Parabolic Systems",
      Math. Comput. Modelling Vol. 43, Issue 3-4, (2006), 294-309.

[10] P. White und J. Powell,
      "Spatial Invasion of Pine Beetles into Lodgepole Forests: A Numerical Approach",
      SIAM J. Sci. Comput. Vol. 20, Issue 1, (1998), 164-184.