Abstract

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Das Algorithmische oder auch Automatische Differenzieren (AD) bietet die Möglichkeit, für einen gegebenen Programmcode Ableitungen beliebiger Ordnung mit Maschinengenauigkeit zu berechnen. Diese Technik werde ich in meinem Vortrag kurz vorstellen. Entgegen der Intuition können die mittels AD verfügbaren Informationen auch zur Optimierung von nichtglatten Zielfunktionen genutzt werden.

Im Vortrag wird ein entsprechender Ansatz diskutiert, bei dem die durch AD mögliche Strukturausnutzung von wesentlicher Bedeutung ist. Abschließend werden erste theoretische Resultate für stückweise glatte Funktionen und numerische Resultate gezeigt.

Ricci-flache komplex-algebraische Mannigfaltigkeiten sind zentrale und viel studierte Objekte der Komplexen Geometrie; prominente Beispiele sind Tori und Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten. Nach einem klassischen Satz von S.T. Yau sind Ricci-flache Mannigfaltigkeiten, deren sog. zweite Chern-Klasse verschwindet, Tori, bis auf endliche unverzweigte Überlagerung. D.h., nicht nur die Ricci-Krümmung, sondern der komplette Krümmungstensor verschwindet.

Vom Standpunkt der Klassifikationstheorie der Algebraischen Geometrie muss man jedoch auch singuläre Varietäten, insbesondere singuläre Ricci-flache Varietäten studieren.

Der Vortrag wird erklären, warum man solche singulären Räume untersuchen muss, welche Art von Singularitäten auftreten, und inwieweit der Uniformierungssatz von Yau richtig bleibt. Zentral ist hier das Studium flacher Vektorbündel und die algebraische Fundamentalgruppe.

Topologische Isolatoren sind Festkörperphysiksysteme ohne leitende Zustände am Fermi Niveau, in denen die Fermi Projektionen dennoch topologische Invarianten besitzt. In dem Vortrag werden Indextheoreme für diese Systeme vorgestellt und etwas zur K-theoritischen Klassifikation berichtet.

Das Mathematische Forschungsinstitut Oberwolfach wurde im Herbst 1944 als "Reichsinstitut für Mathematik" durch den Freiburger Mathematiker Wilhelm Süss (1898-1958) gegründet. Der Vortrag zeichnet einerseits die Vorgeschichte der Gründung nach, die eng mit der Fachpolitik der DMV während der Zeit des Nationalsozialismus verbunden ist. Andererseits wird der Umbau des Instituts zu einem internationalen Tagungsort in den ersten Nachkriegsjahren skizziert.

We shall give a survey of the theory of Bernstein (also termed Schrödinger, or reciprocal) processes. These are diffusions possessing a certain time-reversal property. Their existence was first conjectured by Schrödinger himself (1932) ; a proper mathematical theory was later formulated, beginning with Beurling (1960).

The study of these processes is intimately related to the study of the backward heat equation (or, equivalently, the Hamilton-Jacobi-Bellman equation); symmetries of the partial differential equation lead to transformations between stochastic processes.

Apart from Quantum Mechanics, such processes appear in Mathematical Finance, notably in the study of affine interest rate models.

Most of the talk will be based on a joint work with Hélène Quintard (Rouen) and Jean-Claude Zambrini (Lisbon).

Keller-Segel (KS) systems are important models in the study of chemotaxis in mathematical biology. They describe the collective motion of cells or the evolution of the density of bacteria. Two totally different mechanisms (diffusion and nonlocal aggregation) are reflected in the KS-system. In 2-d, the system contains a critical mass above which the solution blows up in finite time. We will explain the generalization of the critical mass from 2-D to multi-dimension in nonlinear diffusion case. The talk is based on joint works with Jian-Guo Liu and Jinhuan Wang.

Over the past five decades, the scaling properties of self-avoiding and self-repelling Brownian motion have been studied extensively using a wide variety of methods from stochastic analysis, quantum field theory, renormalization group techniques, computer simulations, but also within physical chemistry where these mathematical constructs furnish an important model for the conformations of individual chain polymers in good solvents. It was tempting to extend these mathematical models to the case of fractional Brownian motion. We can show the mathematical existence of such models, and then use physical, mean field arguments to predict their scaling properties. Computer simulations appear to support this prediction.

Starting from the "fact" that a real polynomial taking opposite signs at two values must vanish between those two values, one shows that this result has slowly lost its "obvious" character, and that mathematicians among the greatest ones have proposed somewhat doubtfull "proofs".

The new paradigms of rigor and the search for more convincing proofs have forced mathematicians to give better foundations to mathematical analysis and real numbers.

More recently, the generalization of the result to mappings between higher dimensional spaces has again seen unconvincing "proofs" besides rigorous ones.

In recent years, model order reduction has been recognized to be a powerful tool in analysis, simulation and optimization of complex technical processes in many applications including integrated circuit design, microsystem technology and computational fluid dynamics. A general idea of model reduction is to approximate a large-scale dynamical system by a reduced-order model that captures the input-output behaviour of the original system to a required accuracy and also preserves essential physical properties.

In this talk, we will consider model reduction of linear time-invariant systems using balancing-related truncation techniques. These techniques guarantee the preservation of system properties like stability, passivity and contractivity and provide computable error bounds. We will review the recent developments on numerical methods for large-scale matrix equations that play a crucial role in balanced truncation. An extension of balancing-related model reduction methods to differential-algebraic equations will also be discussed. The performance of these methods will be demonstrated on several problems from different application areas.

A semi-abelian variety is an algebraic variety which has also the structure of a commutative group. Over the complex numbers such a variety has the homotopy type of a product of circles, hence its singular cohomology is an exterior algebra on generators in degree one. We establish the same result universally for ALL cohomology theories.

In den letzten 50 Jahren sind Hochleistungsrechner zu einem unverzichtbaren Werkzeug der Natur- und Ingenieurwissenschaften geworden. Nicht nur in der Theoriebildung sondern auch bei der Auswertung von Experimenten sind numerische Simulationen als komplementäre Methode zu den analytischen Verfahren der Mathematik nicht mehr wegzudenken.

Felix Hausdorff (1868-1942) war ein außerordentlich vielseitiger Mathematiker. Zahlreiche nach ihm benannte Begriffe, Sätze und Verfahren zeugen von seinem nachhaltigen Einfluss, wie etwa Hausdorff-Raum, Hausdorff-Maß, Hausdorff-Dimension, Hausdorff-Metrik, Hausdorffsches Paradoxon, Hausdorffsche Rekursionsformel, Hausdorffs Maximalkettensatz, Hausdorffsche Limitierungsverfahren und eine ganze Reihe weiterer. In seinem opus magnum "Grundzüge der Mengenlehre" entwickelte er die allgemeine Theorie der topologischen und metrischen Räume, ausgehend von geeigneten Axiomensystemen. Dieses Werk war einer der Basistexte der modernen mengentheoretisch-axiomatisch fundierten Mathematik des 20. Jahrhunderts.

Shape optimization is an active field of mathematical research. This talk discusses the practical usage of the shape calculus in several fields of application and the numerical aspects and exploitation of shape Hessians. The field of application include flow problems, thermoelastics and acoustics. Furthermore, novel aspects in the form of Riemannian shape manifolds and their possible consequences for shape Hessians are presented.

Adolf Hurwitz ist einer der bedeutendsten Zahlentheoretiker um die Jahrhundertwende vom 19. zum 20. Jahrhundert. Viel weniger bekannt ist sein älterer Bruder Julius, der ebenfalls in Mathematik promovierte und habilitierte. Julius' Arbeiten setzen die Forschungen von Adolf zu komplexen Kettenbrüchen fort; sein Werdegang ist hingegen mit der rasanten Karriere des jüngeren Bruders nicht zu vergleichen. Wir geben einen Einblick in das bewegte Leben und mathematische Wirken der beiden ungleichen Brüder.

In diesem Vortrag, der auf Koproduktion mit St. Wiedmann (Göttingen) beruht, werden verschiedene Darstellungsvarietäten zahmer Fundamentalgruppen untersucht. Die zwei betrachteten Fälle sind die zahmen Fundamentalgruppen projektiver algebraischer Kurven über endlichen Körpern bzw. Riemannsche Flächen. Die verwendeten Techniken sind passende Versionen der Langlands Korrespondenz bzw. Sätze von Hitchin und Atiyah-Bott über Modulräume von Higgs- sowie gewöhnlichen Vektorbündeln.

In this talk, based on joint work with St. Wiedmann (Göttingen), certain representation varieties of tame fundamental groups are studied. The two cases under consideration are the tame fundamental groups of projective algebraic curves over finite fields resp. Riemann surfaces. The techniques used are appropriate versions of the Langlands correspondence resp. theorems of Hitchin and Atiyah-Bott on moduli spaces of Higgs-and ordinary vector bundles.

Pfadintegrale finden in der Physik häufige Verwendung, sind jedoch oft nicht mathematisch rigoros definiert. Wir werden verschiedene Zugänge zu einer mathematischen Behandlung kennenlernen. Dabei betrachten wir Pfade, die sich in gekrümmten Räumen bewegen.

Path integrals are heavily used in physics but often they are not rigorously defined. We will see several approaches for a mathematical treatment. We consider paths living in curved spaces.

As a mathematical manifestation of a perfect object out of Platon's world of ideas, Quillen's algebraic K-theory will likely never be completely understood. This object or motive, however, casts its shadow in a variety of mathematical fields, and these shadow images, on the one hand, can be more readily understood, and their common origin, on the other hand, gives rise to deep connections between apparently unrelated mathematical objects.

This talk will be concerned mainly with the shadow image that is the Bökstedt-Hsiang-Madsen cyclotomic trace map and with the big de Rham-Witt complex that is used to express this image. I will explain how Borger's ideas about lambda rings lead to a new explicit construction and a surprising interpretation of this complex, the origin of which goes back to Bloch's work on the crystalline cohomology of Berthelot-Grothendieck.

We consider the problem of approximating the vector f(A)b, where f(A) is a function of a large square matrix and b is a vector, using rational Krylov methods. The choice of parameters (poles of rational functions) for these methods is currently an active area of research. We provide an overview of different approaches for obtaining (in some sense) optimal parameters, with an emphasis on the exponential and transfer function, and the square root.

Auf komplexen Mannigfaltigkeiten lässt sich ein besonders reichhaltiges Zusammenspiel von algebraischen, geometrischen und analytischen Phänomenen beobachten. So lassen sich zum Beispiel Steinsche Mannigfaltigkeiten entweder algebraisch (Theorem B), geometrisch (Pseudokonvexität) oder analytisch (Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen) charakterisieren. Betrachten wir hingegen singuläre komplexe Räume, so sind analytische Methoden im Gegensatz zu algebraischen bzw. geometrischen Techniken kaum entwickelt. Zum Beispiel lassen sich Steinsche Räume entweder algebraisch (Theorem B) oder über Pseudokonvexität charakterisieren, aber eine äquivalente analytische Eigenschaft ist nicht bekannt.

Wir werden Ansätze einer L2-Theorie für die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen auf singulären komplexen Räumen diskutieren. Das Grundprinzip dieser Theorie ist die Verwendung einer Desingularisierung, um ein reguläres Modell für die L2-Kohomologie zu finden. Bisherige Ergebnisse erlauben es (in bestimmten Fällen), die Garben-Kohomologie der kanonischen Garbe oder der Strukturgarbe des singulären Raumes analytisch durch L2-Differentialgleichungen zu repräsentieren.

Anwendungen dieser L2-Theorie sind etwa ein analytischer (dquer-theoretischer) Beweis von Hartogs' Fortsetzungssatz für (n-1)-vollständige normale komplexe Räume oder eine Variante des Ohsawa-Takegoshi-Manivel L2-Fortsetzungssatzes für Kohomologieklassen (von einem Divisor auf den ganzen Raum).

In the 19th century, in the context of historical research on mathematics bearing on European, Arabic, Sanskrit and Chinese sources, the idea imposed itself of a divide between proof and computation. This idea is still dominant in some areas of history and philosophy of mathematics. What is the history of this divide? Should not this divide be rethought to allow us to accommodate documents coming from many places in the planet and bearing witness to an interest in proof?

Abstract

Wir betrachten dynamische Systeme in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen, differential-algebraischen Gleichungen und partiellen Differentialgleichungen. Diese mathematischen Modelle enthalten typischerweise physikalische Parameter oder sonstige Modellparameter. Oftmals sind dabei Parameter mit Unsicherheiten behaftet durch z.B. Messfehler, Schätzungen oder Ungenauigkeiten in einem technischen Produktionsablauf. Um diese Unsicherheiten zu quantifizieren ersetzen wir die betroffenen Parameter durch Zufallsvariablen. Somit gehen die Lösungen der dynamischen Systeme in stochastische Prozesse über und wir haben die Evolution der Prozesse oder nur die Evolution ihrer Momente zu bestimmen. Numerische Verfahren zur Lösung dieser stochastischen Modelle werden diskutiert. Insbesondere verwenden wir Methoden basierend auf dem Polynomialen Chaos, d.h. einer Reihenentwicklung der stochastischen Prozesse mit orthogonalen Basispolynomen im Wahrscheinlichkeitsraum. Numerische Simulationen von entsprechenden Anwendungen werden veranschaulicht.

Die Lattice Boltzmann Methode (LBM) ist ein Diskretisierungsansatz für strömungsdynamische Gleichungen, der einen singulären Grenzübergang zwischen der kinetischen Gastheorie und klassischen Kontinuumsbeschreibungen ausnutzt. Im Vortrag wird dieses grundlegende Prinzip erklärt und die praktischen Konsequenzen werden herausgearbeitet: der einfache Differentialoperator der Boltzmann-ähnlichen Gleichung vereinfacht die numerische Behandlung, während der singuläre Grenzwert zu interessanten mathematischen Herausforderungen führt.

In seinen berühmten Arbeiten über Integralgleichungen benutzte Hilbert Anfang des 20ten Jahrhunderts quadratische Formen, um die Gleichungn zu diskretisieren. Die Schüler von Hilbert und vor allem John von Neumann stellten den Begriff des Operators in den Mittelpunkt. Er ist heutzutage zentral in der Mathematik, und selbstadjungierte (unbeschränkte) Operatoren bilden die Basis der mathematischen Formulierung der Quantentheorie, so wie sie heute noch mit größtem Erfolg gültig ist.

Für Anwendungen in partiellen Differentialgleichungen stellte sich spätestens mit dem Lemma von Lax-Milgram 1956 heraus, dass Formmethoden äu\DFerst effizient sind, um zum Beispiel selbstadjungierte Operatoren zu definieren oder analytische Halbgruppen zu erzeugen. Sie sind ein Beispiel der Algebraisierung der Analysis wie auch andere funtkionalanalytische Methoden.

Wir geben in dem Vortrag einen kleinen Rückblick auf die historische Entwicklung und zeigen dann wie man heute Formen anwenden kann, um Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für Evolutionsgleichungen zu beweisen. Im Mittelpunkt stehen dabei neuere Erkenntnisse über maximale Regularität für nicht-autonome Gleichungen. Aber auch Invarianz konvexer Mengen, also Beurling-Deny Kriterien werden diskutiert. Als Anwendung betrachten wir nicht-autonome Robin Randbedingungen.

We will give a survey of the current state of the theory, with an emphasis on iterated disk constructions.

Bei der Lösung stationärer Strömungsprobleme werden seit langem Mehrgitter-Verfahren verwendet, wobei teilweise sogar Textbook Multigrid Efficiency demonstriert werden konnte. Gleichzeitig sind diese Verfahren bei der Lösung instationärer Probleme weniger erfolgreich. Um dem abzuhelfen, ist es sinnvoll, den Glätter an die veränderte Gleichung anzupassen. Die betrachtete Klasse von Glättern sind bestimmte Runge-Kutta-Verfahren, da diese parallel sehr gut skalieren. Zur Bestimmung der freien Parameter werden Modellgleichungen betrachtet und dann die Parameter so bestimmt, dass der Glättungseffekt optimiert wird. Dies zeigt, dass ein Neudesign der Glätter für den instationären Fall erhebliche Geschwindigkeitsgewinne bringt.

Abstract

The detection of a Hopf bifurcation in a large scale dynamical system that depends on a physical parameter often consists of computing the right-most eigenvalues of a sequence of large sparse eigenvalue problems.
We discuss a method that computes a value of the parameter that corresponds to a Hopf point without actually computing right-most eigenvalues. This method utilises a certain sum of Kronecker products and involves the solution of matrices of squared dimension.

The proposed method is based on finding purely imaginary eigenvalues of a two-parameter eigenvalue problem. The problem is formulated as an inexact inverse iteration method that requires the solution of a sequence of Lyapunov equations with low rank right hand sides. It is this last fact that makes the method feasible for large systems. We show numerical examples from Navier-Stokes equations and show a connection with implicitly restarted Krylov methods.

Thin liquid films of micro- and nanoscale thickness play an important roles in many applications such as the production of organic polymer solar cells or photoresist coatings for silicon wafers. The presence of surface tension leads to fourth order partial differential equations for the film evolution which have interesting mathematical properties. Surface tension effects also give rise to characteristic instabilities, such as the fingering at advancing or receding contact lines.

We will discuss two of these instabilities and the underlying base states. The first example links the disappearance of the instability with a transition from a Lax to a non-classical (undercompressive) shock wave. The second highlights the importance of effective slip at the liquid/solid interface and illustrates how the dynamics of the film provides clues to the micro- and nanoscale physics.

Securitization has been identified as one of the ingredients of the current financial crisis. We give an introduction to securitization and discuss the different mathematical models used for rating securitization tranches and for trading.

We give a survey of some aspects of infinite dimensional integration theory, for probabilistic as well as oscillatory type integrals. Some applications to pure mathematics (number theory, topology, ...) and areas like biology and quantum theory will be briefly discussed.

Within the last time, various adaptive methods for image approximation have been suggested. Instead of choosing a priori a basis or a frame to approximate an image, one tries to adapt the approximation scheme to the image geometry.

The proposed methods include e.g. bandelet orthogonal bases by Le Pennec and Mallat, the geometric wavelet transform by Dekel and Leviatan, the tetrolet transform by Krommweh, or image approximation schemes based on lifting schemes by Arandiga et al., Claypoole at al., Baraniuk et al. and others.

In our group, the nonlinear locally adaptive easy path wavelet transform (EPWT) has been explored for sparse image representations. The EPWT is slightly related with the idea of grouplets by Mallat, where one applies a weighted Haar wavelet transform to points that are grouped by a so-called association field.

The main idea of the EPWT is as follows. In a first step, we determine a "path vector" through all indices of a given (two-dimensional) index set of the image. Starting with a suitable index resp. the corresponding image value, we apply a "best neighbor strategy" such that on the one hand adjacent pixels in the path are neighbor pixels in the image, and on the other hand the corresponding adjacent image values are strongly correlated. Then, one level of a (one-dimensional) wavelet transform is applied to the image values along the path vector. In the following levels, one needs to find path vectors through index sets of a low-pass image and applies again the wavelet transform.

In the talk, the recent methods for adaptive image representation will be summarized with a focus on the EPWT and its generalizations.

I will briefly recall the concept of binary error correcting codes. There is a surprising connection to arithmetic, here meaning by linear unimodular symmetric forms over integers. Then I will explain how 3-manifolds with involution give codes and discuss the questions which codes occur this way. Finally I will explain a new construction of codes which comes from topology.

The long term behaviour of dissipatively synchronized deterministic systems is determined by the system with the averaged vector field of the original uncoupled systems. This effect is preserved in the presence of environmental i.e., background or additive noise provided stochastic stationary solutions are used instead of steady state solutions. Random dynamical systems and random attractors provide the appropriate mathematical framework for such problems and require Ito stochastic differential equations to be transformed into pathwise random ordinary differential equations. An application to a system of semi-linear parabolic stochastic partial differential equations with additive space-time noise on the union of thin bounded tubular domains separated by a permeable membrane will be considered. What happens with linear multiplicative noise will also be considered.

This a joint work with Tomas Caraballo (Sevilla) and Igor Chueshov (Kharkov). Based on the papers

• T. Caraballo and P.E. Kloeden, The persistence synchronization under environmental noise Proc. Roy. Soc. London. A 461 (2005), 2257-2267.
• T. Caraballo, I. Chueshov and P.E. Kloeden, Synchronization of a stochastic reaction-diffusion system on a thin two-layer domain, SIAM J. Math. Anal. 38 (2007), 1489-1507.

Wann hat ein Rohr einen exakt kreisförmigen Querschnitt?
Wenn es aus jeder Richtung von außen gleich dick zu sein scheint?

Das könnte man mit einer Schieblehre nachmessen, und so gaben es die Vorschriften der NASA beim Raketenbau vor. Den Verfassern der Vorschriften war entgangen, dass es geometrische Formen gibt, so genannte Gleichdicke, die nicht Kreise sind. Letztlich führte dieser Irrtum zum Tod einer ganzen Raumschiffbesatzung. Im Vortrag wird dargelegt, wo uns Gleichdicke im täglichen Leben überall begegnen und welche interessanten mathematischen Fragen mit ihnen verbunden sind.
Der Vortrag richtet sich an die mathematisch interessierte Öffentlichkeit und nicht nur an Mathematikstudenten.

Computational parsimony makes reduced factor Libor market models popular among practioners. However, value functions and sensitivities of such models are described by degenerate parabolic (i.e. semielliptic) equations where the existence of regular global solutions is not trivial. In this talk, we show that for a considerable class of degenerate equations (including equations corresponding to reduced LIBOR market models of practical interest) regular global solutions can be constructed.
The result is also of interest for the theory of degenerate parabolic equations. In addition, the constructive proof of the global existence result allows to derive explicit approximations for the transition probabilities. These transition probabilities then lead to sophisticated Monte-Carlo schemes for semielliptic diffusion models (subsuming projective Markovian models). Moreover, recent results on bounded variance estimators for Greeks of valuations under such schemes are generalized to reduced factor models. The emphasis in the present part of our treatment of reduced factor models is on conceptual and (constructive) analytical issues. A more detailed analysis of numerical and computational issues, as well as quantitative experiments will be content of the second part.

(joint work with Christian Fries)