Bergische Universität Wuppertal
Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften
Angewandte Mathematik - Numerische Analysis (AMNA)

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Prof. Dr. M. Ehrhardt

Vorlesung im Wintersemester 2009/2010:

Asymptotische Analysis



ausführliche Gliederung der Vorlesung

Übungsblätter, Materialien


In den Anwendungen treten häufig Probleme auf, die auf mathematische Modelle mit sehr unterschiedlichen Zeit- oder Raumskalen führen. Dies drückt sich meist in der Existenz eines kleinen Parameters (nennen wir ihn ε) aus, der einen singulären Charakter aufweist und daher nicht einfach gleich Null gesetzt werden kann. Die Lösung für ε=0 unterscheidet sich wesentlich von der Lösung mit kleinem aber nicht verschwindenden Parameter und allzu leicht führt der Einsatz von Standardmethoden zur Lösung derartiger Gleichungen zu unsinnigen Ergebnissen.

Zur Behandlung solcher sog. singulär gestörter Probleme hilft die asymptotische Analysis weiter. Das ursprüngliche Problem wird durch immer genauere, gut zu behandelnde Probleme ersetzt. Es existieren einerseits spezielle analytische Methoden (insbesondere die 'Matched Asymptotics' oder die Multiskalenmethode), andererseits erfordert die effiziente Generierung numerischer Lösungen speziell angepaßte Methoden, weil sonst der Aufwand mit kleiner werdendem ε (zu) schnell wächst. In der Vorlesung wird speziell auf diskrete Methoden der asymptotischen Analysis eingegangen.

Für die Implementierung der praktischen Aufgaben wird Matlab, Scilab bzw. Octave empfohlen. Außerdem soll das MATLAB-Programmpaket SBVP1.0 (Lösung von singulär gestörten gewöhnlichen Differentialgleichungen) anhand einiger Beispiele vorgestellt werden. Weiterhin soll demonstriert werden, wie man ein symbolisches Programmpaket wie z.B. MAPLE in der Asymptotischen Analysis einsetzen kann.

Die Vorlesung ist sowohl für Studenten des Diplomstudiengang Mathematik, Wirtschaftsmathematik, als auch Physik, Elektrotechnik oder Ingenieurwissenschaften geeignet.


Themen der 2-stündigen Vorlesung:

  1. Übersicht, Ordnungssymbole, Beispiele
  2. Grundlagen asymptotischer Entwicklungen, asymptotische Folgen, Beispiele zu Ein- und Mehrskalenentwicklungen
  3. Grenzschichttheorie und das Matching von asymptotischen Entwicklungen
  4. Anwendungen der Grenzschichttheorie
  5. Die Mehrskalenmethode
  6. Die Mehrskalenmethode für partielle Differentialgleichungen
  7. WKB-Approximation
  8. Die Methode der Homogenisierung
ausführliche Gliederung der Vorlesung.


Literatur:

Literatur zur Numerik: Ergänzende und weiterführende Literatur: (Mathematische) Grundlagen der Strömungslehre:
Vorkenntnisse: Analysis I - II, gewöhnliche Differentialgleichungen.


Scheinkriterium: Regelmäßige Teilnahme und Mitarbeit in den Übungsgruppen, sowie Erreichen von 50 % der möglichen Punkte auf den ersten vier bzw. der restlichen Übungsblättern und mindestens 2/3 der möglichen Punkte für die praktischen Aufgaben.


geplante Fortsetzungsveranstaltung im Sommersemester 2010:



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Department of Mathematics
Applied Mathematics & Numerical Analysis Group

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