Bergische Universität Wuppertal
Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften
Angewandte Mathematik - Numerische Analysis (AMNA)

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Prof. Dr. Matthias Ehrhardt (Teil A,B)
Prof. Dr. Pavel Petrov (Teil C)

Vorlesung im Wintersemester 2022/2023:

Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen



Gliederung
 
19.10.2022

Teil I: Analytische Grundlagen

§ 1. Elementare Lösungsmethoden

1.1 Geometrische Interpretation
  • Richtungsfeld
1.2 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
  • Beispiel 1.1:
  • Satz 1.1
  • Bemerkung
  • Beispiel 1.1
  • Beispiel 1.2
1.3 Lineare Differentialgleichungen
  • Satz 1.2
  • Beispiel 1.3
  • Beispiel 1.4
1.4 Variation der Konstanten
  • Satz 1.3
  • Beispiel 1.5
1.5 Homogene Differentialgleichung
  • Satz 1.4
  • Bemerkung
  • Beispiel 1.6
20.10.2022

§ 2. Existenz- und Eindeutigkeitssatz

2.1 Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
  • Beispiel 2.3
2.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung
  • Definition
  • Reduktion auf ein System 1. Ordnung
  • Satz 2.5. (Existenz- und Eindeutigkeitssatz)
  • Beispiel 2.4
26.10.2022

§ 3. Lineare Differentialgleichungen

3.1 Homogene Gleichungen
  • Definition : Fundamentalsystem
  • Satz 3.2 : Charakterisierung von Fundamentalsystemen
  • Bemerkungen : Schreibweisen, matrixwertige Lösung
  • Beispiel 3.1
3.2 Inhomogene Gleichungen
  • Satz 3.3 : Zusammenhang zwischen den Lösungen der inhomogenen Gleichung und der zugeordneten homogenen Gleichung
  • Satz 3.4 : Variation der Konstanten
  • Beispiel 3.2
3.3. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
  • Definition
  • Satz 3.5 : Lösungsstruktur und Wronski-Determinante
  • Beispiel 3.3
27.10.2022

§ 4. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

4.1 Polynome von Differentialoperatoren
  • Definition
  • Rechenregeln
  • Hilfssatz 4.1
  • Satz 4.1 : Fundamentalsystem der hom. DGL (paarweise voneinander verschiedenen NS)
  • Beispiel 4.1
4.2 Mehrfache Nullstellen
  • Satz 4.2 : Hauptsatz über die Lösungen von DGLn n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
  • Beispiel 4.2
4.3 Inhomogene Differentialgleichungen
  • Satz 4.3 : Inhomogene Gleichung, keine Resonanz
  • Beispiel 4.3
  • Satz 4.4 : Inhomogene Gleichung, Resonanzfall
  • Beispiel 4.4
  • Resonanzkatastrophe
02.11.2022

§ 5. Elementare Diskretisierungsmethoden

03.11.2022

§ 6. Allgemeine Theorie der Einschrittverfahren

19.11.20

§ 8. Praktisch relevante Verfahren

8.1 Taylorverfahren
  • Obreschkov-Verfahren
8.2 Runge-Kutta-Verfahren
  • Beispiel: Methode von Heun
  • Verallgemeinerung führt zu expliziten Runge-Kutta-Verfahren
  • explizites m-stufiges Runge-Kutta-Verfahren
  • Butcher Bäume
  • erreichbare Ordnung
25.11.2020

§ 9. Implementierungsfragen: Schrittweitensteuerung, Fehlerschätzer

9.1 Lösung der impliziten Gleichungen
9.2 Schrittweitensteuerung und Schätzung des globalen Diskretisierungsfehlers
  • Definition 9.1: logarithmische Norm
  • Beispiel
  • Satz 9.1: asymptotische Entwicklung des lokalen Abschneidefehlers
  • Beispiel 9.2 Dreikörperproblem
9.3 Kontinuierliche Näherungsformeln
  • Beispiel 9.3: 3-stufiges Verfahren der Ordnung 3 mit stetiger Interpolation der Ordnung 2
  • Beispiel 9.4
26.11.2020

§ 10. Lineare Mehrschrittverfahren. Motivation und Herleitung einiger elementarer Verfahren

10.1 Explizite Adams-Verfahren
10.2 Implizite Adams-Verfahren
  • Einordnung Mehrschrittverfahren
  • Motivation MSV mit Adams-Bashforth Verfahren, Koeffizienten über Lagrange Basis (Kapitel 10.1)
  • Unterschied Adams-Moulton Verfahren (Kapitel 10.2)
10.3. Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren auf äquidistantem Gitter
  • lokaler Diskretisierungsfehler (Definition 10.3.2)
  • linearer Differenzen-Operator (Definition 10.3.3)
  • Lemma mit Nummer 10.3.4 und ein Korollar 10.3.5
02.12.2020
  • 10.3.1 Konsistenz und Ordnungsaussagen
  • 10.3.2 Lineare Differenzengleichungen
    • Definition: Lineare Differenzengleichung k-ter Ordnung
    • charakteristische Gleichung / Polynom
    • Satz : Lösung; paarweise verschiedene Wurzeln
    • Satz : Lösung; mehrfache Nullstellen
    • Fundamentallösungen
    • Beispiel: Fibonacci-Differenzengleichung
  • 10.3.3 Nullstabilität und erste Dahlquist-Schranke
    • Beispiel 10.3.4
    • Definition 10.3.6: nullstabil / D-Stabilität
    • Satz 10.3.7 : Wurzelbedingung
    • Definition: stark nullstabil
    • Beispiel: Adams-Verfahren
    • Definition: optimal nullstabil
  • 10.3.4 Schwach stabile lineare Mehrschrittverfahren
  • 10.3.5 Konvergenz
03.12.2020
10.4 Prädiktor-Korrektor-Verfahren
10.5 Lineare Mehrschrittverfahren auf variablem Gitter
  • 10.5.1 Adams-Verfahren auf variablem Gitter
09.12.2020
  • 10.5.2 Konsistenz, Stabilität und Konvergenz
  • 10.5.3 Adams-Verfahren in Nordsieckform
10.12.2020

§ 11. Steife Differentialgleichungen

11.1. Ljapunov-Stabilität
  • Definition 11.1.1: stabil im Sinne von Ljapunov, asymptotisch stabil im Sinne von Ljapunov
  • Definition 11.1.2: Gleichgewichtslage, stationäre Lösung
  • Beispiel 11.1.1
  • Satz 11.1.1: Bedingungen für asymptotisch stabil
  • Beispiel 11.1.2
11.2 Einseitige Lipschitz-Konstante und logarithmische Matrixnorm
  • Satz 11.2.1: Abklingverhalen
  • Definition 11.2.1: einseitige Lipschitzbedingung, einseitige Lipschitz-Konstante
  • Beispiel 11.2.1:
  • Satz 11.2.2
  • Bemerkung 11.2.1
  • Definition 11.2.2: exponentiell kontraktiv (schwach kontraktiv, dissipativ)
  • Folgerung 11.2.1
  • Definition 11.2.3 logarithmische Norm der Matrix A
  • Lemma 11.2.1
  • Satz 11.2.3
  • Satz 11.2.4
  • Satz 11.2.5
  • Satz 11.2.6
11.4. Steife Differentialgleichungen
  • 11.4.1 Charakterisierung steifer Systeme
    • Beispiel 11.4.1
    • Beispiel 11.4.2 Prothero-Robinson Gleichung
    • Bemerkung 11.4.1
  • 11.4.2 Auftreten steifer Systeme
    • Singulär gestörte Systeme
    • Semidiskretisierung parabolischer Differentialgleichungen / Linienmethode

§ 12 Rand- und Eigenwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen

12.1 Einführungsbeispiel. Einige theoretische Grundlagen
  • Beispiel 12.1.1
  • Beispiel 12.1.2
  • Satz 12.2.1
  • Beispiel 12.1.3
  • Beispiel 12.1.4
  • Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen
  • Randwertprobleme mit freien Rand
  • Mehrpunktbedingungen
12.2 Das Schießverfahren und das Mehrfachschießverfahren
  • Beispiel 12.2.1
  • Beispiel 12.2.2
  • Mehrzielmethode "multiple shooting"

§ Teil B (Wirtschaft)

13.01.2021
Ein Dynamisches System zur Populationsdynamik mit Anwendung in der Sozialen Sicherung
14.01.2021
Ein einfaches mathematisches Modell zur Beschreibung einer Finanzkrise
16.01.2019
Optimale Handelsausführung mit nichtlinearem Markteinfluß
17.01.2019
Marketing: das Bass Diffusionsmodell mit Evaluationsprozeß und Alterstruktur
23.01.2019
Die klassische Black-Scholes Gleichung
24.01.2019
Semidiskretisierungen der BS Gleichung: Die Linienmethode und die Rothe-Methode (horizontale Linienmethode)
30.01.2019
Finite Differenzen Methoden für die Black-Scholes Gleichung: explizit / implizit Euler, Crank-Nicolson. Ordnung. Stabilität
31.01.2021

§ Teil C (Technik)

10.01.2021
Thema
09.01.19 10.01.19 16.01.19 17.01.19 23.01.19 24.01.19 30.01.19 31.01.19

§ Teil D (Biologie)

§ Teil E (Gesellschaft)



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Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Department of Mathematics
Applied Mathematics & Numerical Analysis Group

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