Teil I: Analytische Grundlagen

§ 1. Elementare Lösungsmethoden

• Definition 1: gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung

1.1 Geometrische Interpretation

• Richtungsfeld

1.2 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

• Beispiel 1.1:
• Satz 1.1
• Bemerkung
• Beispiel 1.1
• Beispiel 1.2

1.3 Lineare Differentialgleichungen

• Satz 1.2
• Beispiel 1.3
• Beispiel 1.4

1.4 Variation der Konstanten

• Satz 1.3
• Beispiel 1.5

1.5 Homogene Differentialgleichung

• Satz 1.4
• Bemerkung
• Beispiel 1.6

§ 2. Existenz- und Eindeutigkeitssatz

• Definition: System von Differentialgleichungen n-ter Ordnung
• Satz 2.1 Zurückführung auf Integralgleichung
• Definition (Lipschitz-Bedingung)
• Satz 2.2 (Hinreichendes Kriterium für das Erfülltsein einer lokalen Lipschitz-Bedingung)
• Satz 2.3 (Eindeutigkeitssatz)
• Beispiel 2.1
• Satz 2.4 (Existenzsatz von Picard-Lindelöf)
• Bemerkung
• Beispiel 2.2

2.1 Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren

• Beispiel 2.3

2.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung

• Definition
• Reduktion auf ein System 1. Ordnung
• Satz 2.5. (Existenz- und Eindeutigkeitssatz)
• Beispiel 2.4

§ 3. Lineare Differentialgleichungen

• Definition : (in-)homogenes Differentialgleichungssystem
• komplexe DGLen
• Satz 3.1 : Existenz und Eindeutigkeit

3.1 Homogene Gleichungen

• Definition : Fundamentalsystem
• Satz 3.2 : Charakterisierung von Fundamentalsystemen
• Bemerkungen : Schreibweisen, matrixwertige Lösung
• Beispiel 3.1

3.2 Inhomogene Gleichungen

• Satz 3.3 : Zusammenhang zwischen den Lösungen der inhomogenen Gleichung und der zugeordneten homogenen Gleichung
• Satz 3.4 : Variation der Konstanten
• Beispiel 3.2

3.3. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

• Definition
• Satz 3.5 : Lösungsstruktur und Wronski-Determinante
• Beispiel 3.3

§ 4. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

4.1 Polynome von Differentialoperatoren

• Definition
• Rechenregeln
• Hilfssatz 4.1
• Satz 4.1 : Fundamentalsystem der hom. DGL (paarweise voneinander verschiedenen NS)
• Beispiel 4.1

4.2 Mehrfache Nullstellen

• Satz 4.2 : Hauptsatz über die Lösungen von DGLn n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
• Beispiel 4.2

4.3 Inhomogene Differentialgleichungen

• Satz 4.3 : Inhomogene Gleichung, keine Resonanz
• Beispiel 4.3
• Satz 4.4 : Inhomogene Gleichung, Resonanzfall
• Beispiel 4.4
• Resonanzkatastrophe

§ 5. Elementare Diskretisierungsmethoden

• Euler-Verfahren, Gitter, Gitterfunktion
• Satz 5.1: Konvergenz des Euler-Verfahrens, Asymptotische Entwicklung des globalen Diskretisierungsfehlers
• Globaler Diskretisierungsfehler
• Verfahren erster Ordnung
• Lokaler Diskretisierungsfehler
• Beispiel 5.1
• Relativer Fehler
• Verfahren zweiter Ordnung
• modifiziertes Euler-Verfahren
• Trapezregel
• Verfahren von Heun
• Bedingung der absoluten Stabilität (für das Euler-Verfahren)
• A-stabil (Euler, mod. Euler, Heun, Trapez)
• A-Stabilität für Differentialgleichungs-Systeme

§ 6. Allgemeine Theorie der Einschrittverfahren

• Allgemeine Form der Einschrittverfahren (ESV)
• explizites/implizites Verfahren
• Schrittfunktion
• Bemerkungen
• Definition 7.1: ESV konvergent
• Stabilität
• Definition 7.2: ESV stabil
• Satz 7.1: Stabilität des ESV
• Konsistenz
• Definition 7.3: ESV konsistent
• Satz 7.2: Konvergenz und Konsistenz des ESV
• Beurteilung der Konvergenzgüte der Verfahren
• Definition 7.4 :
  • lokaler Diskretisierungsfehler
  • lokaler Abschneidefehler
  • konsistent von der Ordnung p
  • konvergent von der Ordnung p
• Satz 7.3: Konvergenzordnung und Konsistenzordnung
• Definition 7.5: Verfahrensordnung
• Satz 7.4: asymptotische Entwicklung des globalen Diskretisierungsfehlers
• Schätzung des lokalen (globalen) Fehlers
• globale Extrapolation, passive Extrapolation
• lokale Extrapolation, aktive Extrapolation
• Bemerkung 7.1 Trapezregel 4. Ordnung
• Bemerkung 7.2 Schrittweitenwahl

§ 8. Praktisch relevante Verfahren

8.1 Taylorverfahren

• Obreschkov-Verfahren

8.2 Runge-Kutta-Verfahren

• Beispiel: Methode von Heun
• Verallgemeinerung führt zu expliziten Runge-Kutta-Verfahren
• explizites m-stufiges Runge-Kutta-Verfahren
• Butcher Bäume
• erreichbare Ordnung

§ 9. Implementierungsfragen: Schrittweitensteuerung, Fehlerschätzer

9.1 Lösung der impliziten Gleichungen

9.2 Schrittweitensteuerung und Schätzung des globalen Diskretisierungsfehlers

• Definition 9.1: logarithmische Norm
• Beispiel
• Satz 9.1: asymptotische Entwicklung des lokalen Abschneidefehlers
• Beispiel 9.2 Dreikörperproblem

9.3 Kontinuierliche Näherungsformeln

• Beispiel 9.3: 3-stufiges Verfahren der Ordnung 3 mit stetiger Interpolation der Ordnung 2
• Beispiel 9.4

§ 10. Lineare Mehrschrittverfahren. Motivation und Herleitung einiger elementarer Verfahren

10.1 Explizite Adams-Verfahren

10.2 Implizite Adams-Verfahren

• Einordnung Mehrschrittverfahren
• Motivation MSV mit Adams-Bashforth Verfahren, Koeffizienten über Lagrange Basis (Kapitel 10.1)
• Unterschied Adams-Moulton Verfahren (Kapitel 10.2)

10.3. Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren auf äquidistantem Gitter

• lokaler Diskretisierungsfehler (Definition 10.3.2)
• linearer Differenzen-Operator (Definition 10.3.3)
• Lemma mit Nummer 10.3.4 und ein Korollar 10.3.5

• 10.3.1 Konsistenz und Ordnungsaussagen
• 10.3.2 Lineare Differenzengleichungen
  • Definition: Lineare Differenzengleichung k-ter Ordnung
  • charakteristische Gleichung / Polynom
  • Satz : Lösung; paarweise verschiedene Wurzeln
  • Satz : Lösung; mehrfache Nullstellen
  • Fundamentallösungen
  • Beispiel: Fibonacci-Differenzengleichung
• 10.3.3 Nullstabilität und erste Dahlquist-Schranke
  • Beispiel 10.3.4
  • Definition 10.3.6: nullstabil / D-Stabilität
  • Satz 10.3.7 : Wurzelbedingung
  • Definition: stark nullstabil
  • Beispiel: Adams-Verfahren
  • Definition: optimal nullstabil
• 10.3.4 Schwach stabile lineare Mehrschrittverfahren
• 10.3.5 Konvergenz

10.4 Prädiktor-Korrektor-Verfahren

10.5 Lineare Mehrschrittverfahren auf variablem Gitter

• 10.5.1 Adams-Verfahren auf variablem Gitter

• 10.5.2 Konsistenz, Stabilität und Konvergenz
• 10.5.3 Adams-Verfahren in Nordsieckform

§ 11. Steife Differentialgleichungen

11.1. Ljapunov-Stabilität

• Definition 11.1.1: stabil im Sinne von Ljapunov, asymptotisch stabil im Sinne von Ljapunov
• Definition 11.1.2: Gleichgewichtslage, stationäre Lösung
• Beispiel 11.1.1
• Satz 11.1.1: Bedingungen für asymptotisch stabil
• Beispiel 11.1.2

11.2 Einseitige Lipschitz-Konstante und logarithmische Matrixnorm

• Satz 11.2.1: Abklingverhalen
• Definition 11.2.1: einseitige Lipschitzbedingung, einseitige Lipschitz-Konstante
• Beispiel 11.2.1:
• Satz 11.2.2
• Bemerkung 11.2.1
• Definition 11.2.2: exponentiell kontraktiv (schwach kontraktiv, dissipativ)
• Folgerung 11.2.1
• Definition 11.2.3 logarithmische Norm der Matrix A
• Lemma 11.2.1
• Satz 11.2.3
• Satz 11.2.4
• Satz 11.2.5
• Satz 11.2.6

11.4. Steife Differentialgleichungen

• 11.4.1 Charakterisierung steifer Systeme
• Beispiel 11.4.1
• Beispiel 11.4.2 Prothero-Robinson Gleichung
• Bemerkung 11.4.1
• 11.4.2 Auftreten steifer Systeme
• Singulär gestörte Systeme
• Semidiskretisierung parabolischer Differentialgleichungen / Linienmethode

§ 12 Rand- und Eigenwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen

12.1 Einführungsbeispiel. Einige theoretische Grundlagen

• Beispiel 12.1.1
• Beispiel 12.1.2
• Satz 12.2.1
• Beispiel 12.1.3
• Beispiel 12.1.4
• Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen
• Randwertprobleme mit freien Rand
• Mehrpunktbedingungen

12.2 Das Schießverfahren und das Mehrfachschießverfahren

• Beispiel 12.2.1
• Beispiel 12.2.2
• Mehrzielmethode "multiple shooting"

§ Teil B (Wirtschaft)

Ein Dynamisches System zur Populationsdynamik mit Anwendung in der Sozialen Sicherung

Ein einfaches mathematisches Modell zur Beschreibung einer Finanzkrise

Optimale Handelsausführung mit nichtlinearem Markteinfluß

Marketing: das Bass Diffusionsmodell mit Evaluationsprozeß und Alterstruktur

Die klassische Black-Scholes Gleichung

Semidiskretisierungen der BS Gleichung: Die Linienmethode und die Rothe-Methode (horizontale Linienmethode)

Finite Differenzen Methoden für die Black-Scholes Gleichung: explizit / implizit Euler, Crank-Nicolson. Ordnung. Stabilität

§ Teil C (Technik)

Thema