Inhalt:
Partielle Differentialgleichungen treten häufig bei der Modellierung von physikalischen, chemischen oder biologischen Phänomenen auf.

Die Vorlesung befaßt sich mit der numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen und der Abschätzung des Fehlers zwischen kontinuierlicher und diskreter Lösung. Wir werden zunächst für parabolische und elliptische Probleme klassische finite Differenzenverfahren und deren moderne Weiterentwicklung, die sog. kompakten Verfahren, hinsichtlich Konsistenz, Stabilität und Konvergenz untersuchen.

Nach einem Einstieg in Theorie der Sobolev-Räume werden aufbauend auf der schwachen Lösungstheorie von elliptischen Randwertproblemen Finite Elemente Diskretisierungen entwickelt und analysiert. Anschließend werden Mehrgitterverfahren zur Lösung der entstandenen Gleichungssysteme diskutiert. Den Abschluß der Vorlesung bildet ein kurzer Abriß über Randelementmethoden.

Im Vordergrund steht die Verbindung von Theorie, Numerischer Analysis und praktischen Implementierungsfragen mittels Programmen in einem begleitenden Praktikum. Hierbei werden die Studenten in integrativer Form mit freier Software vertraut gemacht: während die meisten Programmieraufgaben mit GNU Octave / Scilab implementiert werden, wird mit Hilfe der symbolischen Software Maxima ein Tool entworfen, das für ein Vielzahl von Ansatz- und Testfunktionen die resultierenden Masse- und Steifigkeitsmatrizen bestimmt.

Content:
Partial differential equations arise frequently in the modeling of physical, chemical, or biological phenomena.

The lecture deals with the numerical solution of partial differential equations and the estimation of the error between continuous and discrete solution. We will first study classical finite difference methods for parabolic and elliptic problems and their modern further development, the so-called compact methods, with respect to consistency, stability and convergence.

After an introduction to the theory of Sobolev spaces, finite element discretizations are developed and analyzed based on the weak solution theory of elliptic boundary value problems. Subsequently, multigrid methods for solving the resulting systems of equations are discussed. The lecture concludes with a brief outline of boundary element methods.

The focus is on the connection of theory, numerical analysis and practical implementation issues by means of programs in an accompanying practical course. The students are familiarized with free software in an integrative way: while most of the programming tasks are implemented with GNU Octave / Scilab , the symbolic software Maxima is used to design a tool which determines the resulting mass and stiffness matrices for a variety of approach and test functions.

Matlab, GNU Octave and Scilab, respectively, are recommended for the implementation of the practical tasks. In addition to the use of dedicated learning software for finite elements (CALFEM) and multigrid methods (MGLab), the use of Matlab PDE Toolbox, NMLibforOctave and Scilab finite element toolbox FreeFEM will be learned.