Universität des Saarlandes
Fachrichtung 6.1 - Mathematik
Dr. M. Ehrhardt


Vorlesung im Sommersemester 2002:

Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen



Adressen und Termine
 
 Vorlesung   Di,  11:00 - 12:30   Gebäude 36.1, Raum U12 
   Do,  11:00 - 12:30   Gebäude 36.1, Raum U12 
 Übung   Mi,  16:00 - 17:30   Gebäude 36.1, Raum U12 
 Rechnerzeit   Mi,  11:15 - 15:45   Gebäude 27.1, Raum 2.14 
   Fr,    9:15 - 12:45   Gebäude 27.1, Raum 2.14 

Wochenübersicht


Hyperbolische Erhaltungsgleichungen sind (meist nichtlineare) partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, die die zeitliche Evolution von Transportprozessen beschreiben. Es sind zumeist Bilanzgleichungen für Dichten physikalischer Erhaltungsgrößen (Masse, Impuls, Energie). Das wichtigste Anwendungsbeispiel sind die Euler-Gleichungen der Gasdynamik, z.B. für die Umströmung von Tragflächen oder Fahrzeugen. Weitere Anwendungen treten bei der Modellierung von Flachwasserwellen, von Verkehrsflüssen, in Klimamodellen, Mehrphasenströmung und in der Magnetohydrodynamik auf.

Die Herausforderung bei der theoretischen und numerischen Behandlung von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen begründet sich in der Tatsache, daß Lösungen von Erhaltungsgleichungen in der Regel nach einer gewissen Zeit (selbst bei glatten Anfangsdaten!) Unstetigkeiten ausbilden und daher geeignete schwache Lösungen und numerische Verfahren betrachtet werden müssen.

In der Vorlesung werden zunächst die Grundlagen der Theorie hyperbolischer Erhaltungsgleichungen eingeführt und dann numerische Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen besprochen.

Für die Implementierung der praktischen Aufgaben wird Matlab bzw. Scilab empfohlen. Außerdem soll das Programmpaket Clawpack (Conservation Law Package) anhand einiger Beispiele vorgestellt werden.

Die Vorlesung ist sowohl für Studenten der Mathematik als auch Lehramt Mathematik/Physik geeignet und wird als Prüfungsfach für die Teilprüfung in Angewandter Mathematik bzw. als weiteres Wahlpflichtfach für den Diplomstudiengang Physik anerkannt.


Themen der Vorlesung:

  1. Skalare Erhaltungsgesetze
  2. Lineare hyperbolische Systeme, Beispiele nichtlinearer Systeme
  3. Schock- und Verdünnungswellen, Kontaktunstetigkeiten
  4. Numerische Methoden für lineare Gleichungen
  5. Berechnung unstetiger Lösungen
  6. Konservative Methoden für nichtlineare Probleme
  7. Das Godunov-Verfahren
  8. Näherungsweise Lösung des Riemann-Problems
  9. Nichtlineare Stabilität
  10. Hochgenaue Methoden
  11. Randbedingungen
  12. Kinetische Schemata für hyperbolische Systeme
ausführliche Gliederung der Vorlesung.


Literatur:


Vorkenntnisse: Analysis I - III, Grundkenntnisse gewöhnliche Differentialgleichungen.


Übungen: Übungsblätter, Materialien


Scheinkriterium: Regelmäßige Teilnahme und Mitarbeit in den Übungsgruppen, sowie Erreichen von 50 % der möglichen Punkte auf den ersten sieben bzw. der restlichen Übungsblättern und mindestens 2/3 der möglichen Punkte für die praktischen Aufgaben.


Fortsetzungsveranstaltung im Wintersemester 2002/03:

Ergänzende und weiterführende Literatur:



ehrhardt@num.uni-sb.de