In der Vorlesung werden zunächst die Grundlagen der Theorie hyperbolischer Erhaltungsgleichungen eingeführt und dann numerische Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen besprochen.

Für die Implementierung der praktischen Aufgaben wird Matlab bzw. Scilab empfohlen. Außerdem soll das Programmpaket Clawpack (Conservation Law Package) anhand einiger Beispiele vorgestellt werden.

Die Vorlesung ist sowohl für Studenten der Mathematik als auch Lehramt Mathematik/Physik geeignet und wird als Prüfungsfach für die Teilprüfung in Angewandter Mathematik bzw. als weiteres Wahlpflichtfach für den Diplomstudiengang Physik anerkannt.

Themen der Vorlesung:

1. Skalare Erhaltungsgesetze
2. Lineare hyperbolische Systeme, Beispiele nichtlinearer Systeme
3. Schock- und Verdünnungswellen, Kontaktunstetigkeiten
4. Numerische Methoden für lineare Gleichungen
5. Berechnung unstetiger Lösungen
6. Konservative Methoden für nichtlineare Probleme
7. Das Godunov-Verfahren
8. Näherungsweise Lösung des Riemann-Problems
9. Nichtlineare Stabilität
10. Hochgenaue Methoden
11. Randbedingungen
12. Kinetische Schemata für hyperbolische Systeme

Literatur:

• W. Egartner, Grundlagen der Numerik Physikalischer Erhaltungsgesetze (PDF-Version), Vorlesungsskript, IWR, Universität Heidelberg, 1998.
• R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser, 1990.
• R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, April/Mai 2002.
• C. Schmeiser, Numerische Methoden für hyperbolische Erhaltungssätze, Vorlesungsskript, Institut für Angewandte und Numerische Mathematik, TU Wien.
• J.W. Thomas, Numerical Partial Differential Equation: Conservation Laws and Elliptic Equations, Springer, 1999.

Vorkenntnisse: Analysis I - III, Grundkenntnisse gewöhnliche Differentialgleichungen.

Übungen: Übungsblätter, Materialien

Scheinkriterium: Regelmäßige Teilnahme und Mitarbeit in den Übungsgruppen, sowie Erreichen von 50 % der möglichen Punkte auf den ersten sieben bzw. der restlichen Übungsblättern und mindestens 2/3 der möglichen Punkte für die praktischen Aufgaben.

Fortsetzungsveranstaltung im Wintersemester 2002/03:

• Numerische Strömungsmechanik

Ergänzende und weiterführende Literatur:

• E. Godlewski und P.-A. Raviart, Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Springer, 1996.
• A. Harten, P.D. Lax und B. van Leer, On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws, SIAM Review 25 (1983), 35-61.
• R.L. Higdon, Initial-boundary value problems for linear hyperbolic systems, SIAM Review 28 (1986), 177-217.
• A. Jüngel, Modeling and Numerical Approximation of Traffic Flow Problems, Lecture Notes, Universitsät Mainz.
• M. Junk, A. Klar, J. Struckmeier und S. Tiwari, Compact Course Particle Methods for Evolution Equations, AG Technomathematik, Dept. of Mathematics, University of Kaiserslautern 1996.
• D. Kröner, Numerical Schemes for Conservation Laws, John Wiley & Sons, Chichester, 1997.
• R.D. Richtmyer und K.W. Morton, Difference Methods for Initial-Value Problems, Interscience Publishers, 1967.
• C.W. Shu, Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws, in Advanced numerical approximation of nonlinear hyperbolic equations, Lecture Notes in Mathematics 1697, Springer 1998, 325-432.
• J. Smoller, Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, Springer, 1983.
• N. Trefethen, Group velocity in finite difference schemes, SIAM Review 24 (1982), 113-136.
• G.B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, Chichester, 1974.

ehrhardt@num.uni-sb.de